Projet : OMEGA - Théorie des processus stochastiques et applications

<body bgcolor="#FFEEE0" text="#000000" link="#9944EE" vlink= "#FF0000" alink="#00FF00">  <a name="CHILD_LINKS"><strong>Sous-sections</strong></a> <ul> <li><a name="tex2html308" href= "resul_Processtochastiq_mn.html#SECTION00053100000000000000" target="main"><small>Problème de ruine pour une compagnie d'assurance</small></a></li> <li><a name="tex2html309" href= "resul_Processtochastiq_mn.html#SECTION00053200000000000000" target="main"><small>Un phénomène singulier de grandes déviations</small></a></li> <li><a name="tex2html310" href= "resul_Processtochastiq_mn.html#SECTION00053300000000000000" target="main"><small>Impulsion brownienne</small></a></li> <li><a name="tex2html311" href= "resul_Processtochastiq_mn.html#SECTION00053400000000000000" target="main"><small>Quelques temps d'arrêt du mouvement brownien</small></a></li> <li><a name="tex2html312" href= "resul_Processtochastiq_mn.html#SECTION00053500000000000000" target="main"><small>Calcul stochastique généralisé</small></a></li> <li><a name="tex2html313" href= "resul_Processtochastiq_mn.html#SECTION00053600000000000000" target="main"><small>Loi du temps de sortie d'un intervalle et de l'amplitude pour des chaînes de Markov associées aux polynômes ultrasphériques</small></a></li> <li><a name="tex2html314" href= "resul_Processtochastiq_mn.html#SECTION00053700000000000000" target="main"><small>Sur le problème de Skorokhod</small></a></li> <li><a name="tex2html315" href= "resul_Processtochastiq_mn.html#SECTION00053800000000000000" target="main"><small>Processus de renouvellement spatiaux</small></a></li> </ul> <hr> <h2><a name="SECTION00053000000000000000">Théorie des processus stochastiques et applications</a></h2>  <a name="OMEGA_resultats_Processusstochastiques"></a> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>processus stochastique, analyse stochastique .</i></p> <h3><a name="SECTION00053100000000000000">Problème de ruine pour une compagnie d'assurance</a></h3><br> <br> <span class="textbf">Participant :</span> Pierre Vallois.<br> <br> <p>En collaboration avec Y. Siebenaler (stagiaire du centre universitaire du Luxembourg), P. Vallois s'est intéressé à la loi de  <span class="MATH"><img width="9" height="12" align="bottom" border="0" src="img26.png" alt="$ \theta$">(<i>a</i>)</span>, cette variable aléatoire désignant le premier instant où l'amplitude d'une marche au plus proche voisin (de paramètres  <span class= "MATH"><i>p</i>, <i>q</i>, <i>r</i>, <i>p</i> + <i>q</i> + <i>r</i> = 1</span>), atteint le niveau <span class="MATH"><i>a</i></span>. Ce travail généralise un précédent travail de P. Vallois pour le cas <span class= "MATH"><i>r</i> = 0</span>. La loi de  <span class="MATH"><img width="9" height="12" align="bottom" border="0" src="img26.png" alt="$ \theta$">(<i>a</i>)</span> est complexe. Nous avons néanmoins pu calculer explicitement son espérance, sa variance, et établir des théorèmes limites lorsque <span class="MATH"><i>a</i></span> tend vers l'infini. Comme l'amplitude de la marche modélise des fluctuations, les résultats obtenus pourraient être intéressants pour certaines applications en finance, en assurance, etc.</p> <p>Un article a été soumis à Journal of Theoritical Probability.<br> <br> <br></p> <p>Par ailleurs, P. Vallois a considéré les processus avec sauts et leurs applications au problème de la ruine. Pour modéliser le niveau d'eau d'un barrage (respectivement les actifs d'une compagnie d'assurance) on construit un processus stochastique <span class="MATH"><i>X</i></span>, et on s'intéresse au premier instant <span class= "MATH"><i>T</i><sub>x</sub>(<i>X</i>)</span> où <span class= "MATH"><i>X</i></span> atteint un niveau donné <span class= "MATH"><i>x</i> > 0</span>. En supposant d'abord que les sauts de <span class="MATH"><i>X</i></span> sont négatifs (problèmes de barrage), on a montré que, pour une large classe de processus, la loi de <span class= "MATH"><i>T</i><sub>x</sub>(<i>X</i>)</span> s'exprime à l'aide de la famille de lois  <span class="MATH">{<i>P</i>(<i>X</i><sub>t</sub> <img width= "11" height="22" align="middle" border="0" src="img19.png" alt="$ \in$"> <sup>.</sup> ) ;<i>t</i> > 0}</span> (relation dite de Zolotarev). En revanche, dans le cas où les sauts peuvent être positifs (problèmes d'assurance), on a montré que la fonction de répartition de <span class= "MATH"><i>T</i><sub>x</sub>(<i>X</i>)</span>, considérée en tant que fonction des deux variables <span class= "MATH">(<i>x</i>, <i>t</i>)</span>, vérifie une équation intégrale. Ceci permet d'avoir une solution approchée de la probabilité de ruine ou de non-ruine.</p> <p>Ce travail est en cours de rédaction.</p> <h3><a name="SECTION00053200000000000000">Un phénomène singulier de grandes déviations</a></h3><br> <br> <span class="textbf">Participants :</span> Mihai Gradinaru, Samuel Herrmann, Bernard Roynette.<br> <br> <p>M. Gradinaru, S. Herrmann et B. Roynette ont étudié un phénomène singulier de grandes déviations. Soit  <span class="MATH"><i>X</i><sub>t</sub><sup><img width="8" height="11" align="bottom" border="0" src="img114.png" alt= "$\scriptstyle \varepsilon$"></sup></span> (  <span class="MATH"><img width="8" height="11" align="bottom" border="0" src="img115.png" alt="$ \varepsilon$"> > 0</span>) la solution de l'équation différentielle stochastique :<br></p> <div align="center" class="mathdisplay">  <table cellpadding="0" align="center" width="100%"> <tr valign="middle"> <td nowrap align="right"><img width="14" height="48" align="middle" border="0" src="img116.png" alt= "$\displaystyle \left\lbrace\vphantom{ \begin{array}{l} dX_{t}^{\varepsilon}=\var... ...{t}^{\varepsilon}\vert^{\gamma}dt,\ X_{0}^{\varepsilon}=0 \end{array}}\right.$"><img width="190" height="44" align="middle" border="0" src="img117.png" alt= "$\displaystyle \begin{array}{l} dX_{t}^{\varepsilon}=\varepsilon dB_{t}+{\rm sgn... ...\vert X_{t}^{\varepsilon}\vert^{\gamma}dt,\ X_{0}^{\varepsilon}=0 \end{array}$"></td> <td> </td> <td> </td> <td class="eqno" width="10" align="right"> </td> </tr> </table> </div><br clear="all"> où  <span class="MATH">0 < <img width="10" height="22" align= "middle" border="0" src="img118.png" alt="$ \gamma$"> < 1</span>. Cette EDS est une petite perturbation brownienne de l'équation différentielle ordinaire  <span class="MATH"><i>x'</i><sub>t</sub> = <i>sgn</i>(<i>x</i><sub>t</sub>)| <i>x</i><sub>t</sub>|<sup><img width="8" height="22" align= "middle" border="0" src="img119.png" alt= "$\scriptstyle \gamma$"></sup></span> qui admet une infinité de solutions. L'étude de la décroissance exponentielle de la densité de  <span class="MATH"><i>X</i><sub>t</sub><sup><img width="8" height="11" align="bottom" border="0" src="img114.png" alt= "$\scriptstyle \varepsilon$"></sup></span> quand  <span class="MATH"><img width="8" height="11" align="bottom" border="0" src="img115.png" alt="$ \varepsilon$"></span> décroît vers 0 met en évidence un comportement qui dépend de la position de <span class="MATH">(<i>t</i>, <i>x</i>)</span>. Ainsi nous montrons que pour <span class= "MATH">(<i>t</i>, <i>x</i>)</span> appartenant au domaine compris entre les deux solutions extrémales de l'équation différentielle ordinaire, l'ordre de convergence est différent de celui rencontré dans la théorie de Freidlin et Wentzell, tandis qu'en dehors de ce domaine l'ordre de convergence est classique. Les preuves reposent sur des arguments probabilistes (théorie des grandes déviations) ainsi que sur des arguments analytiques (solutions de viscosité pour des équations de Hamilton-Jacobi). Ce travail fait l'objet d'un article soumis pour publication à Probability Theory and Related Fields. <h3><a name="SECTION00053300000000000000">Impulsion brownienne</a></h3><br> <br> <span class="textbf">Participants :</span> Jean-Sébastien Giet, Bernard Roynette, Sophie Wantz-Mézières.<br> <br> <p>J.-S. Giet et S. Wantz-Mézières ont généralisé l'étude effectuée par B. Roynette et S. Wantz-Mézières [<a href= "bibliographie_ct.html#mezieres-roynette-99" target= "contents">23</a>], concernant la loi de certaines EDS bidimensionnelles présentant localement des coefficients de très grande amplitude. La modélisation proposée couvre un spectre plus large d'applications car nous considérons des coefficients lipschitziens à l'intérieur de leur support. Les grandes amplitudes des coefficients sont modélisées par la famille suivante d'EDS, paramétrée par le réel positif  <span class="MATH"><img width="8" height="11" align="bottom" border="0" src="img115.png" alt="$ \varepsilon$"></span> destiné à tendre vers 0 : </p> <div align="center" class="mathdisplay"> <img width="15" height="70" align="middle" border="0" src= "img120.png" alt= "$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{rcl} X_t^\varepsilon&=&\displayst... ...repsilon})+b(X_s^\varepsilon,Y_s^\varepsilon)] \enspace ds. \end{array}}\right.$"><img width="432" height="70" align="middle" border="0" src="img121.png" alt= "$\displaystyle \begin{array}{rcl} X_t^\varepsilon&=&\displaystyle\int_0^t \phi(\... ...lon}{\varepsilon})+b(X_s^\varepsilon,Y_s^\varepsilon)] \enspace ds. \end{array}$"> </div>On désigne par  <span class="MATH"><i>D</i><sub><img width="8" height="22" align="middle" border="0" src="img122.png" alt= "$\scriptstyle \rho$">,<img width="8" height="11" align= "bottom" border="0" src="img24.png" alt= "$\scriptstyle \theta$"></sub></span> le plus grand domaine délimité par les supports des fonctions <span class= "MATH"><img width="9" height="22" align="middle" border="0" src="img123.png" alt="$ \rho$"></span> et <span class= "MATH"><img width="9" height="12" align="bottom" border="0" src="img26.png" alt="$ \theta$"></span>. On démontre que la loi de la solution  <span class="MATH">(<i>X</i><sup><img width="8" height="11" align="bottom" border="0" src="img114.png" alt= "$\scriptstyle \varepsilon$"></sup>, <i>Y</i><sup><img width= "8" height="11" align="bottom" border="0" src="img114.png" alt="$\scriptstyle \varepsilon$"></sup>)</span> de cette EDS, au temps de sortie du processus  <span class="MATH"><i>X</i><sup><img width="8" height="11" align="bottom" border="0" src="img114.png" alt= "$\scriptstyle \varepsilon$"></sup></span> du domaine  <span class="MATH"><i>D</i><sub><img width="8" height="22" align="middle" border="0" src="img122.png" alt= "$\scriptstyle \rho$">,<img width="8" height="11" align= "bottom" border="0" src="img24.png" alt= "$\scriptstyle \theta$"></sub></span>, lorsque  <span class="MATH"><img width="8" height="11" align="bottom" border="0" src="img115.png" alt="$ \varepsilon$"></span> converge vers 0, est décrite par une fonctionnelle additive du processus <span class="MATH">(<i>Z</i><sub>t</sub>)</span> solution de :  <div align="center" class="mathdisplay"> <i>Z</i><sub>t</sub> = <i>z</i> + <img width="19" height= "43" align="middle" border="0" src="img124.png" alt= "$\displaystyle \int_{0}^{t}$"><img width="58" height="43" align="middle" border="0" src="img125.png" alt= "$\displaystyle {\frac{\rho(s)}{\sqrt{\phi(s,Z_s)}}}$"> <i>dB</i><sub>s</sub> + <img width="19" height="43" align="middle" border="0" src="img124.png" alt= "$\displaystyle \int_{0}^{t}$"><img width="48" height="43" align="middle" border="0" src="img126.png" alt= "$\displaystyle {\frac{\theta(s)}{\phi(s, Z_s)}}$"> <i>ds</i>. </div>Cette étude conduit à un schéma de simulation permettant de réduire l'erreur faite par discrétisation (article en préparation). <h3><a name="SECTION00053400000000000000">Quelques temps d'arrêt du mouvement brownien</a></h3><br> <br> <span class="textbf">Participants :</span> Bernard De Meyer, Bernard Roynette, Pierre Vallois.<br> <br> <p>En collaboration avec M. Yor (université de Paris <span class="MATH">6</span>), B. De Meyer, B. Roynette et P. Vallois s'intéressent aux problèmes suivants (<span class= "MATH"><i>B</i><sub>t</sub></span> désigne un mouvement brownien issu de zéro) :</p> <p>- les lois <span class="MATH"><img width="11" height="22" align="middle" border="0" src="img68.png" alt= "$ \mu$"></span> sur  <span class="MATH"><img width="48" height="23" align="middle" border="0" src="img127.png" alt= "$ \mathbbm {R}_+\times \mathbbm {R}$"></span> telles qu'il existe un temps d'arrêt <span class="MATH"><i>T</i></span> tel que  <span class= "MATH">(<i>T</i>, <i>B</i><sub>T</sub>)</span> soit de loi <span class="MATH"><img width="11" height="22" align= "middle" border="0" src="img68.png" alt="$ \mu$"></span>,</p> <p>- les temps d'arrêt <span class="MATH"><i>T</i></span> tels que <span class="MATH"><i>T</i></span> et <span class= "MATH"><i>B</i><sub>T</sub></span> soient indépendants,</p> <p>- les temps d'arrêt <span class="MATH"><i>T</i></span> tels que <span class= "MATH"><i>B</i><sub>T</sub><sup>1</sup></span> et <span class="MATH"><i>B</i><sub>T</sub><sup>2</sup></span> soient indépendants,  <span class= "MATH">(<i>B</i><sup>1</sup>, <i>B</i><sup>2</sup>)</span> étant un mouvement brownien en dimension <span class= "MATH">2</span>,</p> <p>- les temps d'arrêt <span class="MATH"><i>T</i></span> bornés, non constants, tels que <span class= "MATH"><i>B</i><sub>T</sub></span> soit une gaussienne.<br> <br> <br></p> <h3><a name="SECTION00053500000000000000">Calcul stochastique généralisé</a></h3><br> <br> <span class="textbf">Participant :</span> Pierre Vallois.<br> <br> <p>Le projet a continué à explorer des questions difficiles de calcul stochastique. P. Vallois en collaboration avec F. Russo (université de Paris 13) ont défini, dans une série de travaux précédents, la notion d'intégrale stochastique et de crochet généralisés. On a obtenu de nouveaux résultats relatifs à des processus gaussiens. Les auteurs considèrent également des EDS généralisées du type :  <span class="MATH"><i>dX</i><sub>t</sub> = <i>b</i>(<i>X</i><sub>t</sub>)<i>dt</i> + <img width="11" height="11" align="bottom" border="0" src="img44.png" alt= "$ \sigma$">(<i>X</i><sub>t</sub>)<i>d</i><img width="13" height="24" align="middle" border="0" src="img128.png" alt= "$ \xi_{t}^{}$"></span> où <span class="MATH"><img width="8" height="24" align="middle" border="0" src="img129.png" alt= "$ \xi$"></span> est un processus possédant un crochet généralisé. On étudie également le cas des processus avec sauts.</p> <p>Ce travail a fait l'objet : d'un article en commun avec F. Russo ([<a href="bibliographie_ct.html#russo-vallois-99" target="contents">25</a>]) et de deux articles soumis, un en collaboration avec J. Wolf et F. Russo, et un autre en collaboration avec M. Errami et F. Russo.</p> <p>M. Gradinaru et P. Vallois, en collaboration avec F. Russo, étudient l'existence d'intégrales stochastiques par rapport à un processus gaussien. Les EDS associées pourraient ouvrir le champ à de nouvelles applications : il serait possible de remplacer le mouvement brownien directeur usuel par un processus gaussien.</p> <h3><a name="SECTION00053600000000000000">Loi du temps de sortie d'un intervalle et de l'amplitude pour des chaînes de Markov associées aux polynômes ultrasphériques</a></h3><br> <br> <span class="textbf">Participants :</span> Hélène Ganidis-Cochard, Pierre Vallois.<br> <br> <p>H. Ganidis-Cochard a étudié le processus de l'amplitude pour une classe de chaînes de Markov,  <span class="MATH">(<i>X</i><sub>n</sub>)<sub>n <img width= "10" height="22" align="middle" border="0" src="img130.png" alt="$\scriptstyle \in$"> <img width="10" height="10" align= "bottom" border="0" src="img131.png" alt= "$\scriptstyle \mathbbm {N}$"></sub></span>, associées aux polynômes ultrasphériques (également appelées chaînes ultrasphériques). Ces chaînes de Markov à valeurs dans  <span class="MATH"><img width="14" height="11" align="bottom" border="0" src="img132.png" alt="$ \mathbbm {N}$"></span> ont été notamment étudiées par George ([<a href= "bibliographie_ct.html#george75" target= "contents">Geo75</a>]).</p> <p>On a établi que ces chaînes, convenablement renormalisées, convergent en loi vers les processus de Bessel, ce qui généralise ainsi un résultat de George. Ainsi, via un passage à la limite, on a pu déterminer (ou quelquefois retrouver) la loi de certaines fonctionnelles de processus de Bessel.</p> <p>Les auteurs se sont plus particulièrement intéressés au processus de l'amplitude  <span class="MATH">(<i>A</i><sub>n</sub>)<sub>n <img width= "10" height="22" align="middle" border="0" src="img130.png" alt="$\scriptstyle \in$"> <img width="10" height="10" align= "bottom" border="0" src="img131.png" alt= "$\scriptstyle \mathbbm {N}$"></sub></span> ainsi qu'à son inverse  <span class="MATH">(<img width="9" height="12" align="bottom" border="0" src="img26.png" alt="$ \theta$">(<i>p</i>))<sub>p <img width="10" height="22" align="middle" border="0" src= "img130.png" alt="$\scriptstyle \in$"> <img width="10" height="10" align="bottom" border="0" src="img131.png" alt= "$\scriptstyle \mathbbm {N}$"></sub></span> : </p> <div align="center" class="mathdisplay"> <i>A</i><sub>n</sub> = <img width="21" height="31" align= "middle" border="0" src="img133.png" alt= "$\displaystyle \sup_{k\leq n}^{}$"><i>X</i><sub>k</sub> - <img width="22" height="31" align="middle" border="0" src= "img134.png" alt= "$\displaystyle \inf_{k\leq n}^{}$"><i>X</i><sub>k</sub>, </div> <div align="center" class="mathdisplay"> <img width="8" height="24" align="middle" border="0" src= "img135.png" alt="$\displaystyle \theta$">(<i>p</i>) = inf{<i>k</i>, <i>A</i><sub>k</sub> <img width="13" height= "22" align="middle" border="0" src="img136.png" alt= "$\displaystyle \geq$"> <i>p</i>}. </div>Par définition des chaînes ultrasphériques,  <span class="MATH">| <i>X</i><sub>n + 1</sub> - <i>X</i><sub>n</sub>| = 1</span>. <p>A partir de cette propriété, on a établi que la loi de <span class="MATH"><img width="9" height="12" align="bottom" border="0" src="img26.png" alt="$ \theta$">(<i>p</i>)</span> est intimement liée à celle du temps de sortie d'un intervalle </p> <div align="center" class="mathdisplay"> <i>T</i><sub>b, c</sub> = inf{<i>n</i> <img width="13" height="22" align="middle" border="0" src="img136.png" alt= "$\displaystyle \geq$"> 0, <i>X</i><sub>n</sub> = <i>b</i>  <i>ou</i>  <i>c</i>}. </div>Tout naturellement ceci a conduit à étudier les temps d'atteinte de points et les temps de sortie d'intervalles. On a en particulier déterminé leur transformée de Laplace et leurs deux premiers moments. Nous en avons déduit la transformée de Laplace et le premier moment de <span class= "MATH"><img width="9" height="12" align="bottom" border="0" src="img26.png" alt="$ \theta$">(<i>p</i>)</span>, premier instant où l'amplitude atteint le niveau <span class= "MATH"><i>p</i></span>. Les calculs ont été simplifiés dans deux cas particuliers : ceux correspondant aux chaînes ultrasphériques associées aux processus de Bessel de dimension 1 et 3.<br> <br> <br> <h3><a name="SECTION00053700000000000000">Sur le problème de Skorokhod</a></h3><br> <br> <span class="textbf">Participants :</span> Hélène Ganidis-Cochard, Pierre Vallois.<br> <br> <p>H. Ganidis-Cochard a construit des solutions explicites pour deux problèmes de type Skorokhod avec le mouvement brownien, et a établi des inégalités maximales relatives à chacun des ces problèmes.</p> <p>Plus précisément, on considère deux classes de martingales :</p> <p>1 - la classe des martingales  <span class="MATH">(<i>M</i><sub>t</sub>)<sub>t <img width= "10" height="22" align="middle" border="0" src="img137.png" alt="$\scriptstyle \geq$"> 0</sub></span> càdlàg, uniformément intégrables, dont la loi <span class= "MATH"><img width="9" height="22" align="middle" border="0" src="img123.png" alt="$ \rho$"></span> du couple  <span class="MATH">(<i>M</i><sub>0</sub>, <i>M</i><sub><img width="13" height="11" align="bottom" border="0" src="img138.png" alt= "$\scriptstyle \infty$"></sub>)</span> est fixée,</p> <p>2 - la classe des martingales  <span class="MATH">(<i>M</i><sub>t</sub>)<sub>t <img width= "10" height="22" align="middle" border="0" src="img137.png" alt="$\scriptstyle \geq$"> 0</sub></span> càdlàg, uniformément intégrables, dont les lois <span class= "MATH"><img width="15" height="22" align="middle" border="0" src="img139.png" alt="$ \mu_{0}^{}$"></span> de <span class= "MATH"><i>M</i><sub>0</sub></span> et <span class= "MATH"><img width="16" height="22" align="middle" border="0" src="img140.png" alt="$ \mu_{1}^{}$"></span> de <span class= "MATH"><i>M</i><sub><img width="13" height="11" align= "bottom" border="0" src="img138.png" alt= "$\scriptstyle \infty$"></sub></span> sont données.</p> <p>On a construit une solution explicite à ces deux problèmes de type Skorokhod à partir d'un mouvement brownien : pour toute probabilité sur  <span class="MATH"><img width="18" height="14" align="bottom" border="0" src="img103.png" alt="$ \mathbbm {R}^ 2$"></span>, <span class="MATH"><img width="9" height="22" align="middle" border="0" src="img123.png" alt="$ \rho$"></span> donnée (respectivement tout couple  <span class="MATH">(<img width="15" height="22" align= "middle" border="0" src="img139.png" alt= "$ \mu_{0}^{}$">, <img width="16" height="22" align= "middle" border="0" src="img140.png" alt= "$ \mu_{1}^{}$">)</span> de probabilités sur  <span class="MATH"><img width="13" height="12" align="bottom" border="0" src="img65.png" alt="$ \mathbbm {R}$"></span>), on construit une fonction <span class="MATH"><img width="11" height="24" align="middle" border="0" src="img78.png" alt= "$ \phi$"></span> et on définit un temps d'arrêt <span class= "MATH"><i>T</i></span> par </p> <div align="center" class="mathdisplay"> <i>T</i> = inf{<i>t</i> <img width="13" height="22" align= "middle" border="0" src="img136.png" alt= "$\displaystyle \geq$"> 0,  <i>W</i><sub>t</sub> <img width="13" height="22" align="middle" border="0" src= "img88.png" alt="$\displaystyle \leq$"> <img width="11" height="24" align="middle" border="0" src="img70.png" alt= "$\displaystyle \phi$">(<i>W</i><sub>0</sub>,<img width= "18" height="27" align="middle" border="0" src="img141.png" alt="$\displaystyle \bar{W}_{t}^{}$">)}. </div> <span class="MATH">(<i>W</i><sub>t</sub>)<sub>t <img width= "10" height="22" align="middle" border="0" src="img137.png" alt="$\scriptstyle \geq$"> 0</sub></span> désigne ici un mouvement brownien de loi initiale <span class= "MATH"><img width="15" height="22" align="middle" border="0" src="img142.png" alt="$ \rho_{0}^{}$"></span> (respectivement <span class="MATH"><img width="15" height="22" align="middle" border="0" src="img139.png" alt="$ \mu_{0}^{}$"></span>) et  <span class="MATH">(<img width="18" height="27" align= "middle" border="0" src="img143.png" alt= "$ \bar{W}_{t}^{}$">)<sub>t <img width="10" height="22" align="middle" border="0" src="img137.png" alt= "$\scriptstyle \geq$"> 0</sub></span> le processus du maximum de  <span class="MATH">(<i>W</i><sub>t</sub>)<sub>t <img width= "10" height="22" align="middle" border="0" src="img137.png" alt="$\scriptstyle \geq$"> 0</sub></span>. On montre que  <span class="MATH">(<i>W</i><sub>T <img width="10" height= "11" align="bottom" border="0" src="img144.png" alt= "$\scriptstyle \wedge$"> t</sub>)<sub>t <img width="10" height="22" align="middle" border="0" src="img137.png" alt= "$\scriptstyle \geq$"> 0</sub></span> appartient à la classe 1 (respectivement à la classe 2). De plus, dans le second cas,  <span class="MATH"><img width="11" height="24" align="middle" border="0" src="img78.png" alt="$ \phi$">(<i>x</i>, <sup>.</sup> )</span> ne dépend pas de <span class= "MATH"><i>x</i></span>. On a ensuite montré des inégalités maximales pour chacun des deux problèmes considérés. <h3><a name="SECTION00053800000000000000">Processus de renouvellement spatiaux</a></h3><br> <br> <span class="textbf">Participant :</span> Marco Dozzi.<br> <br> <p>En collaboration avec E. Merzbach, M. Dozzi étudie les extensions possibles de la théorie de renouvellement à des processus indexés par des sous-ensembles d'un espace métrique. Les théorèmes de renouvellement décrivent le comportement asymptotique d'un système stochastique après un nombre aléatoire d'événements. Ces théorèmes sont appliqués à de nombreux problèmes, par exemple en statistique séquentielle, en théorie du risque ou en théorie des files d'attente. Depuis ses débuts dans les années 50, ce domaine a connu récemment un développement important, d'un point de vue théorique aussi bien qu'appliqué.</p> <p>Le travail en cours a pour but de démontrer des théorèmes de renouvellement pour des sommes (au sens de Minkowski) de sous-ensembles convexes et compacts d'un espace vectoriel général muni d'un produit scalaire. Notre motivation pour ce travail est double : d'une part, ces résultats possèdent des applications en écologie et en sciences de l'environnement ; d'autre part, sur le plan théorique, de nombreux problèmes se posent, et on peut mettre en oeuvre les outils de la géométrie intégrale, de la géométrie stochastique et de la théorie des martingales indexées par des ensembles.</p> <hr> </body>