Mots clés : éléments finis, volume
fini, problème de Riemann, théorie TVD, schéma MUSCL, théorie
LED, méthodes POD .
Résumé :
Pour le projet SINUS, le but de la
démarche d'approximation est de remplacer une équation aux
dérivées partielles par un système algébrique dont la
solution est :
- facilement calculable,
- proche de la solution de l'EDP,
- dotée de certaines propriétés de la solution de
l'EDP.
En Mécanique des Fluides compressibles, deux
caractéristiques dominantes des modèles sont :
- les singularités, et non-linéarités,
- la complexité des géométries
industrielles.
Une revue récente des techniques modernes de la
Mécanique des Fluides Numérique est présentée dans
[Pey96], [ATP84], [Hir88].
Pour répondre aux défis ci-dessus, le projet
SINUS s'est spécialisé dans le développement
de méthodes combinant : (i) les résolutions approchées des
problèmes de Riemann modélisant l'évolution d'un gaz à
partir d'une interface plane entre deux états et (ii) les
approximations en maillages non-structurés,
c'est-à-dire par exemple celles s'appuyant sur la
discrétisation du domaine de calcul en un ensemble de
tétraèdres dans lesquels le nombre de sommets voisins d'un
sommet donné est variable. Nous suggérons la lecture de
[Tor97] au lecteur intéressé par les solveurs
de Riemann.
Pour le point (i), la pierre philosophale serait un «
solveur de Riemann » qui conserverait la positivité des
masses et températures, serait peu coûteux, et peu
dissipatif, adaptable enfin à des écoulement complexes
(turbulents, réactifs) et à des nombres de Mach de zéro à des
valeurs très grandes. Les investigations dans ce sujet sont
donc liées à l'étude des problèmes de Riemann, à la
modélisation de la physique complexe et à l'analyse
asymptotique.
Pour le point (ii), la gageure est d'analyser et de
maîtriser les erreurs locales et globales des nouvelles
approximations sur des maillages de qualité de plus en plus
arbitraire (étirement quelconque). La consistance et
la précision sont mesurées grâce à des analyses
variationnelles, des critères d'exactitude sur des polynômes,
ou plus classiquement des calculs d'erreurs de troncature. La
seconde préoccupation dans (ii) est de conserver la
positivité de certaines solutions ; les approximations
non-linéaires incluant des limiteurs sont analysées
(approches TVD, Total Variation Diminishing, et LED, Local
Extrema Diminishing) et utilisées intensivement. Enfin, de
façon à contribuer à la fiabilité du calcul numérique,
nous avons relancé une filière sur l'adaptation de maillage
avec pour objectif de mettre au point des stratégies
permettant (et mesurant) la convergence vers la solution
exacte.
Les simulations ont, durant la dernière décennie,
fortement gagné en prédictivité. En même temps un nouveau
besoin de prédictions moins précises mais très rapides a vu
le jour. La décomposition en modes propres orthogonaux (POD,
Proper Orthogonal Decomposition, introduite par Lumley)) est
une voie séduisante pour apporter une réponse à ce
besoin.