Projet : IS2 - Modéles à structure cachée

<body bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#9944EE" vlink= "#0000FF" alink="#00FF00">  <a name="CHILD_LINKS" id= "CHILD_LINKS"><strong>Sous-sections</strong></a> <ul> <li> <a name="tex2html189" href= "fonde_mod-struct-cac_mn.html#SECTION00031100000000000000" target="main" id= "tex2html189"><small>Généralités</small></a> <ul> <li><a name="tex2html190" href= "fonde_mod-struct-cac_mn.html#SECTION00031110000000000000" target="main" id="tex2html190"><small>Les algorithmes</small></a></li> <li><a name="tex2html191" href= "fonde_mod-struct-cac_mn.html#SECTION00031120000000000000" target="main" id="tex2html191"><small>Choix de modèles</small></a></li> <li><a name="tex2html192" href= "fonde_mod-struct-cac_mn.html#SECTION00031130000000000000" target="main" id="tex2html192"><small>Analyse discriminante</small></a></li> </ul> </li> <li> <a name="tex2html193" href= "fonde_mod-struct-cac_mn.html#SECTION00031200000000000000" target="main" id="tex2html193"><small>La modélisation statistique en analyse d'image</small></a> <ul> <li><a name="tex2html194" href= "fonde_mod-struct-cac_mn.html#SECTION00031210000000000000" target="main" id="tex2html194"><small>Segmentation et restauration d'image</small></a></li> <li><a name="tex2html195" href= "fonde_mod-struct-cac_mn.html#SECTION00031220000000000000" target="main" id="tex2html195"><small>Modélisation markovienne</small></a></li> <li><a name="tex2html196" href= "fonde_mod-struct-cac_mn.html#SECTION00031230000000000000" target="main" id="tex2html196"><small>Algorithmes non supervisés</small></a></li> </ul> </li> <li><a name="tex2html197" href= "fonde_mod-struct-cac_mn.html#SECTION00031300000000000000" target="main" id="tex2html197"><small>Dépendance markovienne multi-échelle sur les coefficients d'ondelette</small></a></li> </ul> <hr /> <h2><a name="SECTION00031000000000000000" id= "SECTION00031000000000000000">Modéles à structure cachée</a></h2> <a name="IS2_fondements_mod-struct-cach" id= "IS2_fondements_mod-struct-cach"></a> <p><br /> <br /> <span class="textbf">Participants :</span> Isabel Brito, Gilles Celeux, Jean Diebolt, Jean-Baptiste Durand, Florence Forbes, Nathalie Peyrard, Paulo Gonçalvès.<br /> <br /></p> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>données manquantes, mélange de lois, algorithme <small>EM</small>, algorithme stochastique, combinaison et choix de modèles, analyse discriminante, analyse d'image, champ de Markov caché, analyse bayésienne .</i></p> <h3>Résumé :</h3> <div class="ABSTRACT"> <i>Les modèles à structure cachée constituent un domaine important de la statistique à la fois par leurs applications (classification, analyse du signal ou de l'image) que par les problèmes algorithmiques et théoriques (choix de modèles notamment) qu'ils soulèvent. L'analyse statistique d'image est un domaine relevant de ce type de modèles. Nous détaillons plus particulièrement le modèle de champ de Markov caché utilisé en analyse d'image.</i> </div> <h3><a name="SECTION00031100000000000000" id= "SECTION00031100000000000000"></a> <a name="mel" id= "mel"></a><br /> Généralités</h3>Le projet <small>IS</small>2 s'intéresse à des modèles statistiques paramétriques, <span class= "MATH"><img width="8" height="12" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt="$ \theta$" /></span> étant le paramètre à estimer, où les données complètes  <span class="MATH"><i>x</i> = <i>x</i><sub>1</sub>,..., <i>x</i><sub>n</sub></span> se décomposent de manière naturelle en données observées  <span class="MATH"><i>y</i> = <i>y</i><sub>1</sub>,..., <i>y</i><sub>n</sub></span> et en données manquantes  <span class="MATH"><i>z</i> = <i>z</i><sub>1</sub>,..., <i>z</i><sub>n</sub></span>. Les données manquantes <span class="MATH"><i>z</i><sub>i</sub></span> représentent l'appartenance à une catégorie d'objets parmi <span class= "MATH"><i>K</i></span>. La densité des données complètes  <span class="MATH"><i>f</i> (<i>x</i> | <img width="8" height="12" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt= "$ \theta$" />)</span> et celle des données observées  <span class="MATH"><i>f</i> (<i>y</i> | <img width="8" height="12" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt= "$ \theta$" />)</span> sont liées par la relation  <span class="MATH"><i>f</i> (<i>y</i> | <img width="8" height="12" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt= "$ \theta$" />) = <img width="11" height="25" align="middle" border="0" src="img2.png" alt="$ \int$" /><i>f</i> (<i>x</i> | <img width="8" height="12" align="bottom" border="0" src= "img1.png" alt="$ \theta$" />)<i>dz</i> = <img width="11" height="25" align="middle" border="0" src="img2.png" alt= "$ \int$" /><i>f</i> (<i>y</i>, <i>z</i> | <img width="8" height="12" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt= "$ \theta$" />)<i>dz</i></span>. La loi marginale d'une donnée observée s'écrit comme un mélange fini de lois,  <div align="center" class="mathdisplay"> <i>f</i> (<i>y</i><sub>i</sub> | <img width="8" height="24" align="middle" border="0" src="img3.png" alt= "$\displaystyle \theta$" />) = <img width="21" height="51" align="middle" border="0" src="img4.png" alt= "$\displaystyle \sum_{k=1}^{K}$" /><i>P</i>(<i>z</i><sub>i</sub> = <i>k</i> | <img width="8" height="24" align="middle" border="0" src="img3.png" alt= "$\displaystyle \theta$" />)<i>f</i> (<i>y</i><sub>i</sub> | <i>z</i><sub>i</sub>,<img width="8" height="24" align= "middle" border="0" src="img3.png" alt= "$\displaystyle \theta$" />)  . </div>Un tel modèle peut par exemple être utilisé pour rendre compte des variations de la taille des adultes. Une variable cachée (le sexe) explique entièrement les variations entre les tailles, les variations de taille pour les personnes de même sexe étant considérées comme la réalisation d'un bruit gaussien. Ce type de modèle à données incomplètes est intéressant car il est susceptible de mettre en évidence une variable discrète cachée qui explique l'essentiel des variations et par rapport à laquelle les données observées sont <em>conditionnellement</em> indépendantes. Les modèles de mélange de lois lorsque les <span class= "MATH"><i>z</i><sub>i</sub></span> sont indépendants constituent une approche de plus en plus répandue en classification. Les modèles de chaîne de Markov cachée (resp. champ de Markov caché) correspondent au cas où les <span class="MATH"><i>z</i><sub>i</sub></span> sont les réalisations d'une chaîne (resp. champ) de Markov. Ils sont très utilisés en traitement du signal (reconnaissance de la parole, analyse de séquences génomiques, etc.) et de l'image (voir section <a href= "fonde_mod-struct-cac_ct.html#ab">3.1.2</a>). <h4><a name="SECTION00031110000000000000" id= "SECTION00031110000000000000">Les algorithmes</a></h4>Du point de vue mathématique, ces modèles sont souvent difficiles à estimer du fait même de l'existence de données manquantes. Ils ont donné naissance à de nombreux algorithmes, dont le dénominateur commun est la restauration des données manquantes, mais qui diffèrent par leur stratégie de restauration. L'algorithme le plus utilisé est l'algorithme <small>EM</small>[<a href= "bibliographie_ct.html#McL97" target="contents">MK97</a>]. <div id="glossaire" style= "margin-left: 2em;margin-right: 2em;"> <hr /> <dl title="Glossaire"> <dt><b>Algorithme <small>EM</small></b></dt> <dd><i>C'est un algorithme très populaire pour l'estimation du maximum de vraisemblance de modèles à structure de données incomplètes. Chaque itération comporte deux étapes. L'étape E (</i> expectation) qui consiste à calculer l'espérance conditionnelle de la vraisemblance des données complètes sachant les observations et l'étape M ( <i>maximisation</i>) qui consiste à maximiser cette espérance conditionnelle.</dd> </dl> <hr /> </div>Les versions stochastiques de l'algorithme <small>EM</small>, dont Gilles Celeux et Jean Diebolt comptent parmi les pionniers, incorporent une étape de simulation des données manquantes pour pouvoir travailler sur des données complétées. <p>Les algorithmes <small>MCMC</small> ( <em>Markov Chain Monte Carlo</em>) sont définis dans un cadre bayésien. Partant d'une loi a priori pour les paramètres, ils simulent une chaîne de Markov, définie sur les valeurs possibles des paramètres, et qui a pour loi stationnaire la loi recherchée, à savoir la loi a posteriori des paramètres. À chaque étape, <span class="MATH"><i>z</i></span> est simulé selon sa loi conditionnelle courante sachant les observations.</p> <p>L'étude du comportement pratique et des propriétés de ces algorithmes stochastiques constitue un thème de recherche traditionnel du projet.</p> <h4><a name="SECTION00031120000000000000" id= "SECTION00031120000000000000">Choix de modèles</a></h4>Un point important pour les modèles à structure cachée est le choix de la complexité du modèle et en particulier le choix du nombre <span class="MATH"><i>K</i></span> de catégories de la variable cachée. Dans ce domaine, très ouvert, de nombreuses approches sont en compétition et la stratégie adoptée dépend beaucoup du but poursuivi. Par exemple, dans un contexte de classification, l'objectif est surtout de restaurer les catégories manquantes <span class= "MATH"><i>z</i><sub>i</sub></span>, alors que dans un contexte d'estimation de densités, il est plutôt d'estimer le paramètre <span class="MATH"><img width="8" height="12" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt= "$ \theta$" /></span>. Cela étant, une approche répandue consiste à se placer dans un cadre bayésien non informatif et à chercher le modèle <span class="MATH"><i>m</i></span> qui maximise la vraisemblance intégrée[<a href= "bibliographie_ct.html#roe97" target="contents">RW97</a>]  <div align="center" class="mathdisplay"> <i>f</i> (<i>y</i> | <i>m</i>) = <img width="14" height= "39" align="middle" border="0" src="img5.png" alt= "$\displaystyle \int$" /><i>f</i> (<i>y</i> | <i>m</i>,<img width="8" height="24" align="middle" border= "0" src="img3.png" alt= "$\displaystyle \theta$" />)<img width="11" height="22" align="middle" border="0" src="img6.png" alt= "$\displaystyle \pi$" />(<img width="8" height="24" align= "middle" border="0" src="img3.png" alt= "$\displaystyle \theta$" /> | <i>m</i>)<i>d</i><img width= "8" height="24" align="middle" border="0" src="img3.png" alt="$\displaystyle \theta$" />, </div> <span class="MATH"><img width="10" height="11" align="bottom" border="0" src="img7.png" alt="$ \pi$" />(<img width="8" height="12" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt= "$ \theta$" /> | <i>m</i>)</span> étant une distribution de probabilité a priori non informative (c'est-à-dire ne favorisant pas de valeur particulière) du paramètre <span class="MATH"><img width="8" height="12" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt="$ \theta$" /></span>. <h4><a name="SECTION00031130000000000000" id= "SECTION00031130000000000000">Analyse discriminante</a></h4>Dans un cadre décisionnel, on dispose d'un échantillon d'apprentissage étiqueté, c'est-à-dire d'un échantillon complet <span class="MATH"><i>x</i> = (<i>y</i>, <i>z</i>)</span>. Le problème est alors de construire une règle de décision pour classer de futures unités pour lesquelles seules les valeurs <span class= "MATH"><i>y</i><sub>i</sub></span> seront observées. Il s'agit alors d'un problème d'analyse discriminante, courant en diagnostic médical, ou en reconnaissance statistique des formes. Dans ce domaine, bien établi[<a href= "bibliographie_ct.html#McL92" target="contents">McL92</a>], de nombreuses méthodes existent. La recherche consiste surtout, à l'heure actuelle, à proposer des techniques répondant à des contextes particuliers et à proposer des méthodes fiables lorsque les échantillons d'apprentissage sont de faible taille. C'est ce dernier point que nous privilégions dans notre recherche. <h3><a name="SECTION00031200000000000000" id= "SECTION00031200000000000000">La modélisation statistique en analyse d'image</a></h3>Les modèles à structure cachée apparaissent naturellement en analyse d'image où les phénomènes aléatoires ont un rôle important. Les données mises en jeu sont spatialement localisées et induisent l'utilisation de modèles probabilistes spatiaux. Ceux-ci soulève de nombreuses questions de modélisation et d'inférence statistique et n'ont cessé de gagner de l'intérêt. En particulier, le choix de modèles appropriés et l'estimation des paramètres associés aux modèles utilisés sont des questions essentielles pour aller vers une automatisation des algorithmes et tirer tout le profit de la richesse des modèles stochastiques. Ces problèmes, abondamment traités, restent cependant ouverts. En effet, un effort d'ordre méthodologique (recherche d'estimateurs précis et robustes) et d'ordre algorithmique (réduction des temps de calcul) reste à faire. <h4><a name="SECTION00031210000000000000" id= "SECTION00031210000000000000"></a> <a name="ab" id= "ab"></a><br /> Segmentation et restauration d'image</h4>Des mécanismes de dégradation des observations sont souvent inhérents aux problèmes d'images. Dans les problèmes de segmentation, de classification ou de restauration d'image, il s'agit de construire ou de retrouver une image inconnue <span class= "MATH"><i>z</i></span> lorsque seule une version dégradée <span class="MATH"><i>y</i></span> est observée. Cela relève naturellement des modèles à structure cachée. Les images sont constituées d'un ensemble <span class="MATH"><i>S</i></span> de pixels qui peuvent prendre une valeur parmi un petit nombre <span class="MATH"><i>K</i></span> de couleurs non ordonnées (les classes). Dans la suite nous noterons <span class="MATH"><i>z</i><sub>i</sub></span> (resp. <span class="MATH"><i>y</i><sub>i</sub></span>) la valeur de l'image <span class="MATH"><i>z</i></span> (resp. <span class="MATH"><i>y</i></span>) au pixel <span class= "MATH"><i>i</i></span> et plus généralement <span class= "MATH"><i>z</i><sub>A</sub></span> (resp. <span class= "MATH"><i>y</i><sub>A</sub></span>) la restriction de <span class="MATH"><i>z</i></span> (resp. <span class= "MATH"><i>y</i></span>) à un sous-ensemble <span class= "MATH"><i>A</i></span> de pixels. <p>Une approche possible, bien fondée statistiquement, est l'analyse d'image dite bayésienne. Elle fournit des solutions élégantes et a connu des développements considérables depuis des premiers travaux tels que ceux de D. et S. Geman[<a href= "bibliographie_ct.html#geman84" target="contents">GG84</a>] ou Besag[<a href="bibliographie_ct.html#besag86" target= "contents">Bes86</a>]. L'intérêt de cette approche est la possibilité d'introduire explicitement des connaissances a priori, notamment sur la structure spatiale des images analysées, dans la modélisation des mécanismes de dégradation des données. Elle a aussi l'avantage de fournir un cadre général dans lequel une grande variété d'applications peuvent être envisagées, par exemple en imagerie médicale et satellitaire, sismologie, astronomie, etc.</p> <p>Dans cette approche, le processus physique d'acquisition des données est pris en compte à travers une vraisemblance  <span class="MATH"><i>f</i> (<i>y</i>  |  <i>z</i>,<img width="8" height="12" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt="$ \theta$" />)</span> qui précise la probabilité d'observer des données <span class= "MATH"><i>y</i></span> lorsque l'image non dégradée est <span class="MATH"><i>z</i></span>. Le paramètre <span class= "MATH"><img width="8" height="12" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt="$ \theta$" /></span> est ici souvent interprété comme un paramètre de bruit. L'information sur la « vraie » image <span class="MATH"><i>z</i></span> est prise en compte à travers une loi de probabilité,  <span class="MATH"><i>f</i> (<i>z</i>  |  <img width="11" height="24" align="middle" border="0" src="img8.png" alt="$ \beta$" />)</span>, fixée en fonction du problème traité et qui peut dépendre d'un paramètre <span class="MATH"><img width="11" height="24" align="middle" border="0" src="img8.png" alt="$ \beta$" /></span>, réglant, par exemple, le niveau des dépendances spatiales. Dans ce modèle, une source d'information importante est la loi conditionnelle de <span class="MATH"><i>z</i></span> sachant les observations <span class="MATH"><i>y</i></span>, donnée par la formule de Bayes suivante<br /></p> <div align="center" class="mathdisplay"> <a name="posterior" id="posterior"></a>  <table cellpadding="0" align="center" width="100%"> <tr valign="middle"> <td nowrap="nowrap" align="right"><i>f</i> (<i>z</i>  |  <i>y</i>,<img width="8" height="24" align="middle" border="0" src="img3.png" alt= "$\displaystyle \theta$" />,<img width="10" height="24" align="middle" border="0" src="img9.png" alt= "$\displaystyle \beta$" />)</td> <td width="10" align="center" nowrap="nowrap"> <img width="13" height="22" align="middle" border="0" src="img10.png" alt="$\displaystyle \propto$" /></td> <td align="left" nowrap="nowrap"><i>f</i> (<i>y</i>  |  <i>z</i>,<img width="8" height="24" align="middle" border="0" src="img3.png" alt= "$\displaystyle \theta$" />)<i>f</i> (<i>z</i>  |  <img width="10" height="24" align="middle" border="0" src="img9.png" alt= "$\displaystyle \beta$" />) .</td> <td class="eqno" width="10" align="right">(<span class= "eqn-number">1</span>)</td> </tr> </table> </div><br clear="all" /> Elle gère la probabilité que la vraie image soit <span class= "MATH"><i>z</i></span> sachant que l'image dégradée observée est <span class="MATH"><i>y</i></span>. Un candidat naturel pour <span class="MATH"><i>z</i></span> est la valeur qui maximise  <span class="MATH"><i>f</i> (<i>z</i>  |  <i>y</i>,<img width="8" height="12" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt="$ \theta$" />,<img width="11" height="24" align="middle" border="0" src="img8.png" alt= "$ \beta$" />)</span>, encore appelée MAP pour <em>maximum a posteriori</em>. Une autre possibilité est l'estimateur <small>MPM</small> ( <em>marginal posterior mode</em>) obtenu en maximisant individuellement les probabilités marginales a posteriori,  <span class="MATH"><i>f</i> (<i>z</i><sub>i</sub>  |  <i>y</i>,<img width="8" height="12" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt="$ \theta$" />,<img width="11" height="24" align="middle" border="0" src="img8.png" alt= "$ \beta$" />)</span>. Cela revient à maximiser le nombre moyen de pixels bien classés. D'autres possibilités existent, que nous ne mentionnons pas ici. <p>Lorsque les paramètres <span class="MATH"><img width="8" height="12" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt= "$ \theta$" /></span> et <span class="MATH"><img width="11" height="24" align="middle" border="0" src="img8.png" alt= "$ \beta$" /></span> sont connus, la loi conditionnelle (<a href="fonde_mod-struct-cac_ct.html#posterior">1</a>) peut être simulée à l'aide d'un échantillonneur de Gibbs[<a href= "bibliographie_ct.html#geman84" target="contents">GG84</a>] en considérant chaque pixel successivement. Lorsque l'on se trouve au pixel <span class="MATH"><i>i</i></span>, la valeur en ce site est remplacée par une valeur tirée au hasard suivant la loi conditionnelle  <span class="MATH"><i>f</i> (<i>z</i><sub>i</sub>  |  <i>z</i><sub>S\{i}</sub>, <i>y</i>,<img width="8" height="12" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt= "$ \theta$" />,<img width="11" height="24" align="middle" border="0" src="img8.png" alt="$ \beta$" />)</span>. En couplant cette technique avec un principe de recuit simulé, D. et S. Geman[<a href="bibliographie_ct.html#geman84" target="contents">GG84</a>] ont proposé une méthode pour rechercher le MAP dans les cas où une énumération directe est impossible. L'échantillonneur de Gibbs peut également être utilisé pour appliquer la règle du <small>MPM</small> en calculant des probabilités empiriques d'appartenance de chaque pixel à une classe. De telles approches rencontrent les problèmes usuels de convergence des algorithmes de type <small>MCMC</small> et sont généralement lentes. Les solutions fournies peuvent être sensibles aux propriétés globales non réalistes des modèles adoptés. Une alternative plus rapide, et qui repose sur des propriétés locales des modèles sous-jacents, est l'algorithme déterministe <small>ICM</small>[<a href="bibliographie_ct.html#besag86" target="contents">Bes86</a>]. La convergence n'est toutefois garantie que vers un maximum local de (<a href= "fonde_mod-struct-cac_ct.html#posterior">1</a>) et l'algorithme peut être très sensible aux conditions initiales. À partir d'une image initiale <span class= "MATH"><i>z</i><sup>(0)</sup></span>, à l'itération <span class="MATH"><i>t</i> + 1</span>, un pixel <span class= "MATH"><i>i</i></span> est choisi et sa valeur est mise à jour en lui donnant la valeur qui maximise  <span class="MATH"><i>f</i> (<i>z</i><sub>i</sub>  |  <i>z</i><sub>S\{i}</sub>, <i>y</i>,<img width="8" height="12" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt= "$ \theta$" />,<img width="11" height="24" align="middle" border="0" src="img8.png" alt= "$ \beta$" />)</span> .</p> <h4><a name="SECTION00031220000000000000" id= "SECTION00031220000000000000">Modélisation markovienne</a></h4>L'approche bayésienne nécessite la spécification de la distribution  <span class="MATH"><i>f</i> (<i>z</i>  |  <img width="11" height="24" align="middle" border="0" src="img8.png" alt="$ \beta$" />)</span>. Il s'agit essentiellement de modéliser des phénomènes ou des contraintes physiques sous-jacentes. En particulier, il est raisonnable de supposer que des pixels voisins ont plus de similarités que des pixels éloignés. De telles caractéristiques locales peuvent être prises en compte à travers les probabilités conditionnelles qu'un pixel <span class="MATH"><i>i</i></span> prenne la valeur <span class="MATH"><i>z</i><sub>i</sub></span> connaissant la valeur de tous les autres pixels  <span class="MATH"><i>z</i><sub>S\{i}</sub></span>. Les champs de Markov sont des modèles dans lesquels la dépendance est réduite aux pixels dans un proche voisinage de <span class="MATH"><i>i</i></span>. Ils permettent donc de prendre en compte les dépendances spatiales entre les pixels d'une image mais ceci au prix de calculs importants. En particulier, lorsque le paramètre <span class= "MATH"><img width="11" height="24" align="middle" border="0" src="img8.png" alt="$ \beta$" /></span> du modèle est inconnu, son estimation est un problème ouvert. <h4><a name="SECTION00031230000000000000" id= "SECTION00031230000000000000">Algorithmes non supervisés</a></h4>Les méthodes indiquées ci-dessus supposent les paramètres <span class="MATH"><img width="8" height="12" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt= "$ \theta$" /></span> et <span class="MATH"><img width="11" height="24" align="middle" border="0" src="img8.png" alt= "$ \beta$" /></span> connus. En pratique, ces paramètres doivent être estimés à partir des informations disponibles, ce qui peut présenter certaines difficultés dans le cas des modèles markoviens. Lorsque l'on dispose de données pour lesquelles on connaît à la fois les observations <span class= "MATH"><i>y</i></span> et la vraie image <span class= "MATH"><i>z</i></span>, on peut envisager d'estimer les paramètres <span class="MATH"><img width="11" height="24" align="middle" border="0" src="img8.png" alt= "$ \beta$" /></span> et <span class="MATH"><img width="8" height="12" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt= "$ \theta$" /></span> lors d'une phase d'apprentissage. Très souvent, de telles données ne sont pas disponibles. Il arrive également que la phase d'apprentissage demande l'intervention d'un opérateur humain dans des situations où une automatisation du système est souhaitée. Ainsi, la recherche d'algorithmes non supervisés est-elle d'un grand intérêt pratique. Dans le cas le plus général, seules les données <span class="MATH"><i>y</i></span> sont observées et <span class="MATH"><i>z</i></span>, <span class= "MATH"><img width="8" height="12" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt="$ \theta$" /></span>, <span class= "MATH"><img width="11" height="24" align="middle" border="0" src="img8.png" alt="$ \beta$" /></span> sont inconnus. Pour appliquer les méthodes précédentes, les paramètres doivent donc être estimés en même temps que l'image <span class= "MATH"><i>z</i></span>. <p>Notons que plusieurs problèmes peuvent être envisagés. Il peut s'agir d'estimer seulement <span class= "MATH"><img width="8" height="12" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt="$ \theta$" /></span> et <span class= "MATH"><img width="11" height="24" align="middle" border="0" src="img8.png" alt="$ \beta$" /></span>. C'est le cas lorsque l'on souhaite faire de la sélection de modèles sur des observations bruitées, ou plus généralement estimer des paramètres dans des problèmes à données manquantes. Il peut également s'agir d'estimer seulement <span class= "MATH"><i>z</i></span>, par exemple dans des situations de classification ou segmentation d'image. Beaucoup des algorithmes fournissent à la fois des estimations de <span class="MATH"><i>z</i></span> et des paramètres <span class="MATH"><img width="8" height="12" align="bottom" border="0" src="img1.png" alt="$ \theta$" /></span> et <span class="MATH"><img width="11" height="24" align="middle" border="0" src="img8.png" alt="$ \beta$" /></span> de sorte que la distinction précédente peut sembler inutile. Nous décrivons toutefois dans [<a href= "bibliographie_ct.html#forbesraftery" target= "contents">4</a>] un algorithme fournissant une segmentation <span class="MATH"><i>z</i></span> sans donner une estimation précise de <span class="MATH"><img width="11" height="24" align="middle" border="0" src="img8.png" alt= "$ \beta$" /></span>, ce qui permet d'éviter des calculs coûteux.</p> <h3><a name="SECTION00031300000000000000" id= "SECTION00031300000000000000">Dépendance markovienne multi-échelle sur les coefficients d'ondelette</a></h3> <p>Les décompositions en ondelettes (orthogonales) fournissent pour une large classe de signaux une représentation <em>parcimonieuse</em>, dans laquelle peu de coefficients ont une amplitude significativement non nulle. Bien que ces décompositions ne génèrent pas <em>stricto sensu</em> une base de Kharunen-Loeve pour les processus étudiés, il est raisonnable dans une majorité de cas, de négliger les corrélations résiduelles entre coefficients. Ici, nous nous intéressons à des situations où précisément, il est important de ne pas sous-estimer ces corrélations. C'est le cas notamment des processus structurés en échelle, terminologie intentionnellement vague pouvant désigner les processus à mémoire longue, aussi bien que des signaux présentant des couplages entre plusieurs modes spectraux (par exemple des modes harmoniques). Nous proposons alors de modéliser ces interactions par des dépendances markoviennes sur des états cachés des coefficients d'ondelette structurés selon un arbre diadique multirésolution.</p> <p>Le modèle statistique ainsi défini sur les coefficients d'ondelette est un modèle à structure cachée pour lequel existent des algorithmes de calcul et de maximisation de la vraisemblance comparables à l'algorithme avant-arrière pour les chaînes de Markov cachées.</p> <p>Ainsi, si l'on privilégie l'axe temporel, on s'attache à modéliser la dépendance statistique de l'état d'un système conditionnellement à son passé relatif à une échelle de temps (caractéristique) donnée. Si, en revanche, on privilégie l'axe des échelles, on vise à caractériser les interactions entre les différents modes spectraux (ou échelles de temps). On peut ainsi envisager de repérer grâce à ces modèles, des comportements en loi d'échelle (auto-similarité globale ou locale, longue dépendance), ou, ce qui nous intéresse davantage, des transitions dans cette dynamique d'échelle (processus multi-échelle, scalings non stationnaires...).</p> <hr /> </body>