Projet : MATHFI - Mathématiques financières

<body bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#9944EE" vlink= "#0000FF" alink="#00FF00">  <a name="CHILD_LINKS" id= "CHILD_LINKS"><strong>Sous-sections</strong></a> <ul> <li> <a name="tex2html194" href= "domai_mathfi_mn.html#SECTION00041100000000000000" target="main" id="tex2html194"><small>Modélisation des actifs financiers</small></a> <ul> <li><a name="tex2html195" href= "domai_mathfi_mn.html#SECTION00041110000000000000" target="main" id="tex2html195"><small>Application des lois stables en finance.</small></a></li> <li><a name="tex2html196" href= "domai_mathfi_mn.html#SECTION00041120000000000000" target="main" id="tex2html196"><small>Statistique des modèles à volatilité stochastique.</small></a></li> </ul> </li> <li><a name="tex2html197" href= "domai_mathfi_mn.html#SECTION00041200000000000000" target= "main" id="tex2html197"><small>Couverture approchée des produits dérivés</small></a></li> <li><a name="tex2html198" href= "domai_mathfi_mn.html#SECTION00041300000000000000" target= "main" id="tex2html198"><small>Gestion de portefeuilles avec coûts de transaction</small></a></li> </ul> <hr /> <h2><a name="SECTION00041000000000000000" id= "SECTION00041000000000000000">Mathématiques financières</a></h2> <a name="MATHFI_domaine_mathfi" id= "MATHFI_domaine_mathfi"></a> <h3>Résumé :</h3> <div class="ABSTRACT"> <i>Les applications financières que nous considérons sont les problèmes d'évaluation et de couverture des produits dérivés (options européennes et américaines) et les problèmes de gestion optimale de portefeuilles. Les sujets de recherche que nous développons visent à se rapprocher des conditions du marché par des modélisations plus réalistes des actifs financiers (prise en compte d'événements rares comme d'importantes variations de cours par la modélisation des prix des actifs par des processus stables et des mouvements browniens fractionnaires, modélisation aléatoire de la volatilité), ainsi que par l'étude de techniques de couverture approchée (introduction de coûts de transaction, couvertures discrètes).</i> </div> <h3><a name="SECTION00041100000000000000" id= "SECTION00041100000000000000">Modélisation des actifs financiers</a></h3> <p><br /> <br /> <span class="textbf">Participants :</span> V. Genon-Catalot, T. Jeantheau, A. Sulem, A. Tisseyre.<br /> <br /></p> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>lois stables, volatilité stochastique .</i></p> <p>Les modèles usuels de finance comme le modèle de Black-Scholes et ses différentes variations font intervenir des processus de diffusion browniens.</p> <p>Les actifs peuvent alors être couverts par des stratégies données sous forme explicite, ou bien calculables de manière approchée. Les calculs approchés reposent soit sur des méthodes de Monte-Carlo combinées avec des techniques de simulation de solutions d'équations différentielles stochastiques, soit sur des méthodes de résolution d'équations aux dérivées partielles paraboliques.</p> <p>Des études statistiques semblent montrer que les prix d'actions suivent des dynamiques discontinues. Ces modèles rendent mieux compte de certains phénomènes tels que les cracks boursiers, les irrégularités dues aux écarts entre offres d'achat et offres de vente, les interventions d'investisseurs institutionnels.</p> <h4><a name="SECTION00041110000000000000" id= "SECTION00041110000000000000">Application des lois stables en finance.</a></h4>On connaît les limites du modèle de Black-Scholes et les quelques incohérences qu'il entraîne entre les axiomes et les observations empiriques. Parmi les faiblesses on peut citer le «smile de volatilité». L'objet de la thèse d'A. Tisseyre est l'utilisation de processus géométriques <span class="MATH"><img width="10" height="11" align="bottom" border="0" src="img7.png" alt= "$ \alpha$" /></span>-stables. L'étude statistique des cours de change permet de trouver une valeur de <span class= "MATH"><img width="10" height="11" align="bottom" border="0" src="img7.png" alt="$ \alpha$" /></span> de l'ordre de <span class="MATH">1.65</span>, ce qui donne en particulier une bonne estimation de fréquence de retour de «crak». Un modèle de pricing d'options dans ce cadre permet d'apporter une correction significative sur le smile de volatilité. Un premier travail a été consacré au développement de méthodes numériques analytiques permettant d'évaluer la densité, la fonction de répartition et la transformée de Laplace partielle des lois <span class="MATH"><img width="10" height= "11" align="bottom" border="0" src="img7.png" alt= "$ \alpha$" /></span>-stables. A. Tisseyre a obtenu des résultats théoriques permettant d'exprimer ces fonctions à l'aide soit de séries, soit d'intégrales complexes, soit de développements asymptotiques. Ces résultats sont appliqués pour l'évaluation de prix d'options dans le cadre de modèles «stables» (voir [<a href="bibliographie_ct.html#tisseyre" target="contents">Tis99</a>]). <h4><a name="SECTION00041120000000000000" id= "SECTION00041120000000000000">Statistique des modèles à volatilité stochastique.</a></h4>Pour pallier les insuffisances du modèle de Black et Scholes, de nombreux auteurs ont proposé une modélisation aléatoire de la volatilité. Ces modèles, dits à volatilité stochastique, peuvent être à temps discret (par exemple les modèles ARCH) ou à temps continu (tel que le proposent par exemple Hull and White). Les formules de prix de produits dérivés qui en découlent dépendent des paramètres figurant dans les équations stochastiques associées. <p>Le problème de l'estimation de ces paramètres à partir de l'observation des prix d'actifs n'est pas standard et nécessite des méthodes spécifiques. Ce travail a déjà été effectué dans différents cadres asymptotiques. par exemple celui des données haute fréquence. Notre équipe y a contribué; quatre articles [<a href= "bibliographie_ct.html#GJL1" target="contents">GCJL98</a>], [<a href="bibliographie_ct.html#GJL2" target= "contents">GCJL99</a>], [<a href="bibliographie_ct.html#GJL3" target="contents">16</a>], [<a href= "bibliographie_ct.html#GJL4" target="contents">31</a>] et la thèse de A. Gloter [<a href="bibliographie_ct.html#AG" target="contents">41</a>] sont principalement consacrés à ce sujet. Nos méthodes peuvent être implémentées, et les résultats théoriques sont validés par des simulations numériques.</p> <p>De nombreux problèmes statistiques sur ces modèles restent ouverts et les résultats obtenus peuvent certainement être améliorés afin de rendre les procédures d'estimation plus efficaces. L'équipe envisage également d'étudier la situation où les browniens régissant le prix des actifs et la volatilité sont corrélés.</p> <h3><a name="SECTION00041200000000000000" id= "SECTION00041200000000000000">Couverture approchée des produits dérivés</a></h3> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>risque modèle, coûts de transaction, couverture discrète .</i></p> <p><br /> <br /> <span class="textbf">Participants :</span> C. Martini, Ch. Patry, E. Temam, D. Lamberton, S. Njoh.<br /> <br /></p> <p>Les modèles utilisés par les praticiens pour décrire les actifs financiers sont des modèles continus. On dispose alors d'une théorie parvenue à maturité ces dernières années, celle des marchés complets qui permet de calculer les prix et les stratégies de couverture des options.</p> <p>Pourtant, ces stratégies de couverture ne sont pas réalistes. En effet, le trader ne se couvre qu'à des instants discrets et ne peut intervenir qu'un nombre fini de fois sur le marché par séance. Des travaux théoriques montrent les limites de l'application de la stratégie continue à des temps discrets déterministes : un exemple typique est celui d'un call à la monnaie à maturité, ou d'une option digitale. Les praticiens sont conscients de ce phénomène et développent des recettes empiriques pour y pallier.</p> <p>Des travaux théoriques très récents ont été menés sur ces sujets par Cvitani<img width="5" height="10" align="bottom" border="0" src="img29.png" alt="\normalsize{\'{c\/}}" /> et Karatzas (contrainte sur le ratio de couverture, [<a href= "bibliographie_ct.html#CviKa" target="contents">CK</a>]) et Barles et Soner (coûts de transaction, [<a href= "bibliographie_ct.html#BarSon" target="contents">BS96</a>]). Nous étudions en particulier la couverture en temps discret, l'introduction des coûts de transaction et leur implémentation numérique.</p> <p>Concrètement, l'utilisation de modèles aussi classiques que celui de Black-Scholes en pratique, donc avec des couvertures discrètes, pose la question du choix des instants et ratios de couverture effectifs. Ceci a mené à l'étude de la stratégie de couverture discrète la plus simple, qui correspond à l'approximation de l'intégrale stochastique par une somme de Riemann (travaux de Henrotte [<a href= "bibliographie_ct.html#henrotte" target= "contents">Hen93</a>], Zhang [<a href= "bibliographie_ct.html#zhang" target= "contents">Zha99</a>]).</p> <p>Le travail d'étude des couvertures à temps fixes mené par R. Zhang en dimension 1, et pour des fonctions relativement régulières, a été étendu depuis par E. Temam et E. Gobet [<a href="bibliographie_ct.html#GT" target= "contents">GT99</a>] au cas de fonctions moins régulières et en particulier pour les options digitales. Ce travail confirme l'intuition des praticiens des marchés : ces options sont beaucoup plus délicates à couvrir que les options classiques et ceci se traduit par une vitesse de convergence de la couverture approchée plus lente que dans le cas des puts et des calls. Enfin, récemment, E. Temam a étendu ces résultats au cas multidimensionnel, pour une large classe d'options incluant les puts et les calls et les options digitales sur indices.</p> <p>Cependant, rien n'oblige de se couvrir à intervalle de temps régulier, alors que la couverture semble devoir être plus fréquente dans les zones où le ratio de couverture Black- Scholes varie beaucoup. Une question naturelle dans ce sens est celle du choix optimal des paramètres de couverture pour un nombre de couvertures fixé, par exemple pour un critère de minimisation de la variance de l'erreur de réplication. Le problème correspondant est un problème de contrÔle stochastique avec un nombre fini de temps d'arrêt que l'on résout théoriquement par des techniques de solutions de viscosité et numériquement par un algorithme d'Howard[<a href="bibliographie_ct.html#martpat" target= "contents">PM99</a>]. Actuellement, le travail en cours concerne l'étude d'autres critères (minimisation de l'espérance de la partie négative de l'erreur de couverture, travail sous la probabilité historique).</p> <p>Les problèmes de couverture approchée apparaissent aussi dans les situations où on ne peut pas se couvrir directement avec l'actif sous-jacent. La thèse de S. Njoh porte plus particulièrement sur la couverture des options sur l'électricité. Le caractère non stockable de l'électricité rend inopérante toute stratégie de couverture avec le sous-jacent et on ne peut espérer réaliser qu'une couverture approchée à l'aide d'autres actifs.</p> <h3><a name="SECTION00041300000000000000" id= "SECTION00041300000000000000"></a> <a name="commande" id= "commande"></a><br /> Gestion de portefeuilles avec coûts de transaction</h3> <p><br /> <br /> <span class="textbf">Participants :</span> M. Akian (projet Metalau), J.-Ph. Chancelier, J.L. Menaldi (Wayne State University), B. Øksendal (Univ. d'Oslo), A. Sulem, M. Taksar (Stony Brook University New York).<br /> <br /></p> <p>On étudie la politique optimale de consommation et d'investissement d'un investisseur ayant un compte en banque à taux d'intérêt fixe et <span class="MATH"><i>n</i></span> comptes en actions modélisés par des mouvements browniens géométriques. Les transactions entre comptes entraînent des coûts proportionnels au montant de la transaction et sont modélisées par des contrÔles singuliers.</p> <p>L'objectif est de maximiser le taux moyen de profit pour une fonction d'utilité de type HARA, ou l'espérance d'une fonction d'utilité de la richesse finale [<a href= "bibliographie_ct.html#cdc" target="contents">ASS95</a>] ou encore une fonction d'utilité de la consommation [<a href= "bibliographie_ct.html#menaldi" target="contents">AJS96</a>]. Ces problèmes se modélisent comme des problèmes de contrÔle stochastique singulier. Ils conduisent à des inéquations variationnelles que l'on étudie théoriquement au moyen des solutions de viscosité, et numériquement par des algorithmes de type Howard et multigrilles.</p> <p>Le cas ergodique (maximisation du taux moyen de profit) est étudié dans [<a href="bibliographie_ct.html#AKSU" target= "contents">13</a>]. Le problème des coûts fixes de transaction est étudié dans [<a href= "bibliographie_ct.html#oks1" target="contents">OS99</a>], [<a href="bibliographie_ct.html#cos" target= "contents">17</a>]. Il se formule comme un problème combiné de contrÔle stochastique et de contrÔle impulsionnel qui conduit à une inéquation quasi variationnelle non linéaire.</p> <p>Nous étudions également ces problèmes dans le cas où les prix des actifs risqués sont modélisés par des processus de diffusion avec sauts [<a href="bibliographie_ct.html#MM" target="contents">FOS98</a>], [<a href= "bibliographie_ct.html#jump2" target="contents">25</a>]. Dans ce cas les équations d'HJB associées comportent un terme intégral. Le problème sans coût de transaction peut être résolu explicitement.</p> <hr /> </body>