Projet : MATHFI - Méthodes numériques pour l'évaluation et la couverture des produits dérivés

<body bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#9944EE" vlink= "#0000FF" alink="#00FF00">  <a name="CHILD_LINKS" id= "CHILD_LINKS"><strong>Sous-sections</strong></a> <ul> <li> <ul> <li><a name="tex2html153" href= "fonde_numer_mn.html#SECTION00031010000000000000" target="main" id="tex2html153"><small>Méthodes de Monte-Carlo.</small></a></li> <li><a name="tex2html154" href= "fonde_numer_mn.html#SECTION00031020000000000000" target="main" id="tex2html154"><small>Méthodes numériques probabilistes.</small></a></li> <li><a name="tex2html155" href= "fonde_numer_mn.html#SECTION00031030000000000000" target="main" id="tex2html155"><small>Méthodes numériques déterministes.</small></a></li> </ul> </li> </ul> <hr /> <h2><a name="SECTION00031000000000000000" id= "SECTION00031000000000000000">Méthodes numériques pour l'évaluation et la couverture des produits dérivés</a></h2>  <a name="MATHFI_fondements_numer" id= "MATHFI_fondements_numer"></a> <p><strong>Mots clés :</strong> <i>Monte-Carlo, méthodes d'arbres, différences finies, méthodes numériques .</i></p> <p><br /> <br /> <span class="textbf">Participants :</span> P. Cohort, A. Genest, B. Jourdain, D. Lamberton, B. Lapeyre, C. Martini, C. Patry, A. Sulem, E. Temam, A. Zanette.<br /> <br /></p> <h3>Résumé :</h3> <div class="ABSTRACT"> <i>Les problèmes de calcul effectif des prix et des couvertures d'options sont, encore aujourd'hui, l'enjeu essentiel pour les établissements financiers. Bien qu'une activité de recherche intense ait été menée dans les banques et le monde universitaire depuis quinze ans, cette préoccupation reste entière tout particulièrement pour le calcul d'options exotiques et sur taux d'intérêt et l'optimisation de portefeuille sous contraintes. Ce thème d'activité, tout en étant au coeur du développement du logiciel Premia, motive des recherches plus théoriques à la fois sur les méthodes de type Monte-Carlo et sur les schémas numériques pour les équations aux dérivées partielles linéaires et non linéaires (Kolmogorov, Hamilton-Jacobi-Bellman, Inéquations Variationnelles et quasi-variationnelles), en particulier dans le cas très fréquent dans les applications, où le schéma discrétisé ne vérifie pas le principe du maximum discret.</i> </div> <h4><a name="SECTION00031010000000000000" id= "SECTION00031010000000000000">Méthodes de Monte-Carlo.</a></h4>Les problèmes d'évaluation et de couverture d'options sont liés à des équations de diffusion en dimension (parfois) grande (plus de 10), ou très dégénérées pour lesquelles les méthodes numériques sont délicates voire impossible à mettre en oeuvre. Il n'est donc pas étonnant de constater que des méthodes de Monte-Carlo sont aujourd'hui utilisées de faÇon massive en finance, très souvent en raison de la simplicité de leur implémentation. Cette simplicité apparente ne doit pas cacher que la mise en oeuvre efficace de ces techniques conduit à des problèmes mathématiques délicats : approximation précise de fonctionnelles du mouvement brownien (option sur moyenne ou maximum...), justification de l'emploi de suites à discrépance faible pour des fonctions peu régulières comme celles utilisées lors de calculs d'options, pour ne citer que des points directement traités par des chercheurs du projet. Ce domaine de recherche est, bien sûr, directement lié à des activités appliquées et concerne une des parties importantes du logiciel Premia. <p>Dans les modèles de diffusion, la mise en oeuvre des méthodes de Monte-Carlo nécessite le plus souvent la discrétisation d'une équation différentielle stochastique. Le schéma de discrétisation le plus utilisé dans la pratique est le schéma d'Euler. L'erreur que l'on commet lorsque l'on approche un processus de diffusion par un schéma d'Euler peut être contrÔlée de différentes manières : norme <span class= "MATH"><i>L</i><sub>P</sub></span>, contrÔle des densités de transition <span class="MATH">...</span>. L'approche considérée dans l'article [<a href= "bibliographie_ct.html#Clement" target="contents">Clé99</a>] est différente et consiste à mettre en évidence un comportement exponentiel de la vitesse de convergence du processus d'erreur convenablement normalisé. Plus précisément, nous montrons que le processus d'erreur satisfait un pseudo-principe de déviations modérées lorsque le pas de discrétisation du schéma d'Euler tend vers zéro. Ces techniques de grandes déviations devraient permettre d'étudier la couverture approchée d'options à des instants régulièrement espacés.</p> <p>D. Lamberton travaille également sur les méthodes d'approximation récursives de lois invariantes de diffusion [<a href="bibliographie_ct.html#lp" target= "contents">LG99</a>] (collaboration avec G. Pagès, Université Paris 12).</p> <h4><a name="SECTION00031020000000000000" id= "SECTION00031020000000000000">Méthodes numériques probabilistes.</a></h4>Les problèmes abordés actuellement concernent essentiellement l'évaluation numérique de prix d'actifs complexes, en particulier le pricing d'options par des méthodes d'arbres. Si la convergence des schémas d'arbre a été traité notamment par Kushner [<a href= "bibliographie_ct.html#kusdu" target="contents">HD92</a>], il semble que l'étude de la vitesse de convergence et aussi la compréhension des phénomènes d'enveloppes observés lors de la convergence des schémas d'arbres soit pour une grande part encore à réaliser. <p>Plus précisément, on peut citer: l'étude de la forme de la convergence de l'algorithme de Cox-Ross-Rubinstein [<a href= "bibliographie_ct.html#Cox-Ross-al-78" target= "contents">CRR78</a>] pour une option standard, de la vitesse de convergence pour des algorithmes de type Hull-White [<a href="bibliographie_ct.html#HW93" target= "contents">HW93</a>] ou Barraquand-Pudet [<a href= "bibliographie_ct.html#BP96" target="contents">BP96</a>] pour des options européennes sur trajectoires, la preuve de la convergence de ce type d'algorithmes pour des options américaines.</p> <h4><a name="SECTION00031030000000000000" id= "SECTION00031030000000000000">Méthodes numériques déterministes.</a></h4>Nous étudions les schémas numériques pour des équations aux dérivées partielles paraboliques dégénérées en particulier les équations en dimension élevée et les questions de stabilité des schémas aux différences finies pour les inéquations variationnelles. <p>Nous menons aussi l'étude des équations d'Hamilton-Jacobi-Bellman, inéquations variationnelles et quasi-variationnelles, en particulier dans le cas très fréquent dans les applications, où le schéma discrétisé ne vérifie pas le principe du maximum discret.</p> <hr /> </body>