projet : NUMATH - Contrôle et identification de formes

<body bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#9944EE" vlink= "#0000FF" alink="#00FF00">  <a name="CHILD_LINKS" id= "CHILD_LINKS"><strong>Sous-sections</strong></a> <ul> <li> <a name="tex2html366" href= "resul_opt_mn.html#SECTION00062100000000000000" target= "main" id="tex2html366"><small>Aspects théoriques généraux.</small></a> <ul> <li><a name="tex2html367" href= "resul_opt_mn.html#SECTION00062110000000000000" target= "main" id="tex2html367"><small>Dérivation Topologique.</small></a></li> <li><a name="tex2html368" href= "resul_opt_mn.html#SECTION00062120000000000000" target= "main" id="tex2html368"><small>Dérivation par rapport au domaine.</small></a></li> </ul> </li> <li><a name="tex2html369" href= "resul_opt_mn.html#SECTION00062200000000000000" target= "main" id="tex2html369"><small>Problèmes à frontière libre.</small></a></li> <li><a name="tex2html370" href= "resul_opt_mn.html#SECTION00062300000000000000" target= "main" id="tex2html370"><small>Identification d'inclusions et de fissures</small></a></li> <li> <a name="tex2html371" href= "resul_opt_mn.html#SECTION00062400000000000000" target= "main" id="tex2html371"><small>Calcul numérique de formes</small></a> <ul> <li><a name="tex2html372" href= "resul_opt_mn.html#SECTION00062410000000000000" target= "main" id="tex2html372"><small>Application au magnétoformage</small></a></li> </ul> </li> </ul> <hr /> <h2><a name="SECTION00062000000000000000" id= "SECTION00062000000000000000">Contrôle et identification de formes</a></h2> <a name="NUMATH_resultats_opt" id="NUMATH_resultats_opt"></a> <h3><a name="SECTION00062100000000000000" id= "SECTION00062100000000000000">Aspects théoriques généraux.</a></h3><br /> <br /> <span class="textbf">Participants :</span> Gilles Fremiot, Jan Sokolowski.<br /> <br /> <p>La forme des ensembles tangents [<a href= "bibliographie_ct.html#bednarczuk00" target= "contents">14</a>] ainsi que des propriétés de projection métrique sur des convexes du type obstacle dans des espaces de Banach sont obtenues dans [<a href= "bibliographie_ct.html#rao2" target="contents">32</a>].</p> <p>Des résultats de sensibilité de la solution par rapport aux données sont obtenus pour le cas d'un contact dynamique sans frottement dans un travail en préparation par Jiri Jarusek, Murali Rao et Jan Sokolowski.</p> <p>Dans l'article [<a href= "bibliographie_ct.html#buchensokzoch" target= "contents">9</a>] préparé dans le cadre du projet POLONIUM nous étudions la stabilité des solutions du problème de l'élasticité quand le domaine sur lequel il est posé est appelé à varier. Nous envisageons des conditions au bord de type Dirichlet ou Neumann, ainsi que des variations non régulières. Nous mettons en particulier en évidence le fait que la <span class="MATH"><img width="10" height="22" align= "middle" border="0" src="img2.png" alt= "$ \gamma$" /></span>-convergence pour le problème de Dirichlet entraîne la continuité pour le problème de l'élasticité. Nous étudions aussi le problème de la minimisation de la première valeur propre de l'opérateur de l'élasticité et nous prouvons l'existence d'un minimum sous contrainte de volume.</p> <h4><a name="SECTION00062110000000000000" id= "SECTION00062110000000000000">Dérivation Topologique.</a></h4> <p>La dérivée topologique permet de localiser le lieu géométrique de la structure élastique où peut apparaître un trou. Un article sur le sujet pour des systèmes d'équations est préparé en collaboration avec S.A. Nazarov. Des applications sont données pour des équations elliptiques et un système d'élasticité en dimension trois.</p> <p>On considère aussi un problème inverse [<a href= "bibliographie_ct.html#jack00" target="contents">31</a>] avec une méthode numérique basée sur la dérivation topologique. C'est l'un des sujets de recherche dans le cadre du projet POLONIUM.</p> <h4><a name="SECTION00062120000000000000" id= "SECTION00062120000000000000">Dérivation par rapport au domaine.</a></h4> <p>L'étude de différents problèmes dans des domaines fissurés est très importante puisqu'elle conduit à plusieurs applications possibles parmi lesquelles l'identification et l'évolution de fissures au moyen de méthodes d'optimisation de formes. De plus, l'obtention de conditions nécessaires d'optimalité ainsi que la mise en oeuvre de méthodes constructives de calcul d'un domaine optimal nécessitent bien souvent la détermination de la semi-dérivée eulérienne des fonctionnelles de coût associées au problème. C'est pourquoi il est primordial de dégager la structure de la semi-dérivée eulérienne.<br /> Dans le cas de domaines réguliers, cette structure est bien connue. En effet, la semi-dérivée eulérienne dépend uniquement des perturbations de la frontière du domaine en direction de la normale. Ce résultat est encore valable pour des domaines réguliers par morceaux, pourvu que les singularités ne soient pas trop fortes. Par contre, ce n'est plus du tout vrai dans le cas de domaines fissurés.<br /> Nous montrons, au cours de ce travail effectué dans le cas bidimensionnel [<a href="bibliographie_ct.html#fremiot1" target="contents">2</a>], qu'il est possible de déterminer précisément la structure de la semi-dérivée eulérienne dans le cas d'un domaine possédant une fissure [<a href= "bibliographie_ct.html#fremiot2" target="contents">18</a>]. Nous constatons en outre que la semi-dérivée eulérienne ne dépend pas uniquement des perturbations de la frontière du domaine en direction de la normale, mais également des perturbations des extrémités de la fissure en direction tangentielle. Par rapport au cas régulier, nous voyons donc apparaître, en plus du terme classique, deux nouvelles contributions dûes aux extrémités de la fissure. Cette structure obtenue sous forme abstraite, c'est-à-dire avec la simple hypothèse de différentiabilité par rapport au domaine de la fonctionnelle, confirme les résultats donnés déjà pour une large classe de fonctionnelles intégrales.<br /> Un autre sujet de recherche étudie un problème associé à la fonctionnelle d'énergie dans le cas d'une équation elliptique, puis deux problèmes non linéaires, dont l'un avec conditions de type Signorini, et enfin un problème de contrôle optimal. Dans chacun de ces cas, nous montrons que la fonctionnelle considérée est différentiable par rapport au domaine, afin d'appliquer le théorème de structure. Nous établissons pour ces exemples le lien avec les coefficients de singularités des solutions, ce qui conduit à la formule de Griffith. Les résultats présenté dans ce paragraphe sont obtenus dans [<a href="bibliographie_ct.html#fremiot3" target="contents">17</a>], [<a href= "bibliographie_ct.html#fremiot4" target="contents">16</a>] et [<a href="bibliographie_ct.html#fremiot5" target= "contents">19</a>].<br /> On donne également une autre application très importante du théorème de structure : l'étude de la différentiabilité par rapport au domaine des valeurs propres du laplacien avec condition de Neumann sur la fissure et condition de Dirichlet sur la frontière extérieure, ces valeurs propres étant comptées avec multiplicité. Afin de caractériser ces valeurs propres, nous utilisons le principe d'Auchmuty qui est dual du fameux principe de Rayleigh. On obtient la différentiabilité de la première valeur propre sans aucune hypothèse. Par contre, la différentiabilité des autres valeurs propres, qui s'expriment quant à elles au moyen d'un max-min, nécessite une hypothèse relativement forte sur les sous-espaces propres.</p> <h3><a name="SECTION00062200000000000000" id= "SECTION00062200000000000000">Problèmes à frontière libre.</a></h3> <p><br /> <br /> <span class="textbf">Participants :</span> Jean-Rodolphe Roche, Jan Sokolowski.<br /> <br /></p> <p>On étudie la modélisation, l'identification et le contrôle en mécanique des solides pour des problèmes de contacts pour des coques, des plaques, des problèmes en plasticité ainsi que l'identification des fissures pour des plaques élastiques.</p> <p>Nous nous intéressons dans [<a href= "bibliographie_ct.html#hsok00" target="contents">30</a>] à un problème d'optimisation de forme relatif à la modélisation d'endurcissement par induction. Le modèle mathématique consiste en une formulation potentielle vectorielle pour les équations de Maxwell couplée au bilan d'énergie et à une EDO. En agissant sur la forme de l'anneau, nous contrôlons la fraction de volume de la phase à haute température. L'anneau est modélisé par un tube et est défini par une courbe de vitesse unité. Le problème d'optimisation de forme est formulé pour l'ensemble des courbes admissibles. Nous prouvons l'existence d'un contrôle optimal. On utilise la méthode de la dérivée matérielle afin d'obtenir le gradient de forme de la fonctionnelle de coût. Enfin, on établit, dans le cas d'un tube optimal, les conditions nécessaires d'optimalité du premier ordre.</p> <p>Nous travaillons sur l'étude et sur la résolution numérique d'un ensemble d'équations d'évolution non linéaires modélisant la solidification d'un alliage à deux composantes en intégrant une équation de température, une équation décrivant la concentration des deux composantes de l'alliage et une équation de changement de phase. On prête particulièrement attention à l'adaptation des maillages autour du front de solidification.</p> <h3><a name="SECTION00062300000000000000" id= "SECTION00062300000000000000">Identification d'inclusions et de fissures</a></h3> <p><br /> <br /> <span class="textbf">Participants :</span> Gilles Fremiot, Jan Sokolowski.<br /> <br /></p> <p>L'étude d'un modèle quasi-statique de membrane, dont les mouvements lents sont contrôlés par les déplacements d'un fil métallique à mémoire de forme se ramène à l'étude d'un problème aux frontières elliptique dans un domaine  <span class="MATH"><img width="11" height="11" align="bottom" border="0" src="img3.png" alt="$ \Omega$" /> <img width="13" height="22" align="middle" border="0" src="img4.png" alt= "$ \subset$" /> <b>R</b><sup>2</sup></span> possédant une fissure, couplé avec une équation non linéaire du quatrième ordre décrivant les déplacements verticaux sur la fissure. On prouve l'existence locale et l'unicité de solutions faibles. On obtient des estimations <span class="textit">a priori</span> uniformes afin de prolonger les solutions locales en solutions globales.</p> <p>Pour un corps visco-élastique anisotrope en 2-d, on montre qu'à la singularité habituelle en racine carrée des contraintes à l'extrémité d'une fissure s'ajoute un terme qui dépend analytiquement de <span class= "MATH">log(<i>r</i>)</span>, croît plus vite que  <span class="MATH">| log(<i>r</i>)|<sup>N</sup></span> pour tout <span class="MATH"><i>N</i></span>, mais moins vite que <span class="MATH"><i>r</i><sup>-a</sup></span> pour tout <span class="MATH"><i>a</i> > 0</span>. Par la même occasion, nous avons déterminé les conditions d'apparition de ces termes logarithmiques. En particulier, ils apparaissent dans le cas où les propriétés élastiques instantanées sont isotropes mais le noyau de la relaxation devient anisotrope et inhomogène.</p> <p>Actuellement, nous commençons l'étude de la dimension trois. En particulier, nous considérons des inclusions avec des angles ; les solutions de l'équation d'état possèdent alors une partie singulière. On cherche un modèle mixte pour des méthodes numériques. C'est un travail avec A.M. Khludnev (Novosibirsk). La formule de Griffith est aussi obtenue dans le cas tridimensionnel [<a href= "bibliographie_ct.html#khlsok" target="contents">22</a>]. Dans ce cas, la fissure bidimensionnelle est incluse dans un domaine tridimensionnel [<a href="bibliographie_ct.html#kos" target="contents">21</a>], [<a href= "bibliographie_ct.html#khlsok" target="contents">22</a>].</p> <h3><a name="SECTION00062400000000000000" id= "SECTION00062400000000000000">Calcul numérique de formes</a></h3><br /> <br /> <span class="textbf">Participants :</span> Jean-Rodolphe Roche.<br /> <br /> <h4><a name="SECTION00062410000000000000" id= "SECTION00062410000000000000">Application au magnétoformage</a></h4> <p>La résolution de problèmes d'optimisation de formes avec un nombre important de paramètres de contrôle est possible à condition d'utiliser tout l'arsenal de techniques adaptatives de l'optimisation et de la résolution d'équations aux dérivées partielles. Plusieurs aspects de ces techniques [<a href="bibliographie_ct.html#roche0" target= "contents">25</a>] ont été étudiés cette année. Nous savons que la convergence de méthodes d'optimisation de type "Newton-like", théoriquement superlinéaire, dépend en fait totalement de la précision avec laquelle on résout l'équation d'état. On a étudié la propagation des erreurs dans ces algorithmes dans le cas de l'optimisation de formes afin d'établir des critères d'adaptation des maillages. Un deuxième aspect étudié a été la résolution d'équations intégrales par des méthodes de type "panel clustering" dans une application de formage électromagnétique.</p> <p>Les résultats obtenus en collaboration avec M.-A. Muschietti sont de nature numérique et concernent des estimations d'erreur <span class="textit">a posteriori</span> dans le cas des équations intégrales résolues par une méthode de Galerkin sur une surface fermée plongée dans <span class= "MATH"><i>R</i><sup>3</sup></span>.</p> <p>Les résultats numériques en dimension deux ont été vérifiés dans un test concernant le formage magnétique de métaux liquides.</p> <hr /> </body>