Participants : Vincent Heuveline, Pierre-François Lavallée, Bernard Philippe, Miloud Sadkane
La méthode d'Arnoldi accélérée par des polynômes s'est avérée
intéressante dans beaucoup de domaines où une partie du spectre
matriciel doit être déterminée. Le polynôme est évalué de manière
dynamique en tenant compte de la distribution spectrale de la
matrice d'itération et doit réaliser 
où p est un polynôme et 
est un domaine contenant la
partie du spectre que l'on ne désire pas calculer.
Notre travail consiste à étendre cette technique, utilisée
uniquement dans le cas réel, au cas où la matrice est complexe.
Le domaine 
est une
ellipse oblique et le polynôme p est de type Chebyshev.
Actuellement, on considère le cas plus général où le domaine
est à frontière
polygonale et le polynôme p est de type Faber.
[21].
A partir d'une collaboration avec l'Ensta et l'Ircom traitant
de la simulation et de la modélisation des lignes
supraconductrices, nous devons résoudre un problème aux valeurs
propres complexe généralisé non-hermitien et où les modes propres
intéressants se situent près de l'axe imaginaire. On se ramène à
cette partie du spectre en effectuant une transformation
spectrale dont le coût supplémentaire par rapport aux méthodes de
projection est la résolution, à chaque pas, d'un système linéaire
creux non-hermitien. Le but de notre approche est de développer
un code robuste pour ce type de problèmes où une approximation de
la solution est d'abord cherchée par des méthodes (de projection)
rapides mais éventuellement non garanties, raffinées ensuite par
des techniques stables à convergence plus lente.
[24].