Mots clefs : équation différentielle ordinaire, équation différentielle algébrique, méthode symplectique Participants : Anne Aubry, John Butcher, Robert Chan, Philippe Chartier, Georges Le Vey
L'accent a été mis récemment sur les techniques nécessaires à une mise en oeuvre effective des méthodes dites ``Diagonally Implicit Multi Stage Integration Methods''. En particulier, des estimateurs d'erreur asymptotiquement corrects ont été construits, permettant une implantation à pas variable. L'étude théorique de la stabilité dans ce contexte est en cours ainsi que les techniques de changement d'ordre, qui posent des difficultés théoriques beaucoup plus grandes, puisqu'elles exigent des estimateurs d'ordre p+2 alors que la méthode est elle-même d'ordre p.
Par ailleurs, à la suite de l'étude théorique des conditions
d'ordre d'une méthode composée, une modification des schémas de
type Runge-Kutta a été proposée : il s'agit ici d'accroître
l'ordre de convergence de la composante algébrique dans le cas
des systèmes algébro-différentiels. Là encore, l'implantation de
cette technique est en cours et un code devrait bientôt être
disponible. Plus généralement, cette étude a permis l'utilisation
de techniques dites de ``smoothing'' (dues à Robert Chan),
propres à améliorer la qualité numérique des approximations
produites.
Les propriétés de cette nouvelle loi de composition sont par
ailleurs étudiées : l'objectif est de prouver qu'elle munit
l'ensemble des méthodes de Runge-Kutta d'une structure de groupe.
On espère ainsi mieux comprendre l'action des méthodes de
Runge-Kutta lorsqu'elles sont appliquées aux équations
différentielles algébriques. Ceci devrait permettre à plus long
terme la construction de méthodes plus performantes, basées sur
la notion d'ordre effectif (J.C. Butcher).
Enfin, deux classes de méthodes symplectiques sont explorées
actuellement. L'objectif poursuivi ici est de réduire le coût des
méthodes symplectiques en ayant recours au parallélisme.
[6,29,30,27,28].
Parallèlement à la recherche de schémas numériques
d'intégration, une réflexion théorique sur la définition de
l'indice d'une équation différentielle algébrique s'est
poursuivie cette année. Après avoir montré l'intérêt de la
théorie formelle des EDP comme cadre pour l'étude des propriétés
structurelles des systèmes, nous avons mis cette année en
évidence des liens entre quelques théorèmes sur l'existence de
solutions de ces systèmes et les résultats donnés par la théorie
formelle.
[22,23].