Les solutions de récurrences et d'équations différentielles linéaires à coefficients polynomiaux sont omniprésentes en combinatoire et en théorie des fonctions spéciales, donc dans de nombreuses équations de la physique mathématique. Leur étude est un domaine très actif du calcul formel. Un des principes de base est la possibilité de manipuler les solutions de ces équations sans avoir à les résoudre explicitement. Les applications des algorithmes de ce domaine sont la preuve d'identités, le calcul rapide de développements en série, la recherche de sommes et d'intégrales définies ou indéfinies, et le calcul de développements asymptotiques.
Le package gfun développé par B. Salvy et P. Zimmermann implante un grand nombre de fonctions permettant de manipuler ces équations dans le cadre univarié.
Cette année, E. Murray a commencé à explorer ces techniques dans un programme de développement en séries à un grand ordre. L'objectif est d'obtenir des développements à près de 100 ou 200 termes de manière routinière, ce qui est pour l'instant hors de portée des systèmes de calcul formel. Ces développements permettront en particulier une expérimentation plus facile sur les comportements asymptotiques de coefficients de séries.
Une partie du package gfun a été incorporée par J. Carette dans le package LREtools qui fait partie de la prochaine version standard de MAPLE. Ce package est une boîte à outils pour les récurrences linéaires à coefficients polynomiaux. Il comprend deux types de fonctions : celles qui servent à manipuler les équations de récurrences définissant des suites, et celles qui recherchent des formes closes pour ces récurrences. La recherche de formes closes se fait par des algorithmes du calcul formel très récents qui ont été en partie implantés par B. Salvy. Parmi les algorithmes implantés sont ceux d'Abramov pour la recherche de solutions polynomiales et rationnelles, et celui de Petkovsek pour la recherche de solutions hypergéométriques. Ceci se traduit pour l'utilisateur par une augmentation importante du nombre de récurrences que peut résoudre explicitement la fonction rsolve. Dans le futur, un algorithme de recherche de toutes les solutions Liouvilliennes devrait être ajouté à LREtools.
Dans le cadre de son stage de DEA [34], F. Chyzak a poursuivi ses travaux sur le cas multivarié et sur la manipulation d'opérateurs linéaires par une généralisation des méthodes de bases de Gröbner. Une partie du travail a été consacré à rendre le programme Mgfun plus efficace et plus robuste. Ce travail a abouti à l'introduction du programme dans la share library de MAPLE. Une autre partie du travail, plus théorique, a permis de se rendre compte que les méthodes fondées sur l'holonomie se scindent en deux classes, selon que les équations considérées sont à coefficients polynomiaux ou rationnels. Le second cas est plus simple à formaliser, mais ne permet que des opérations élémentaires sur les fonctions et suites. Le premier cas, plus compliqué, est nécessaire à l'élaboration de la théorie de l'holonomie pour le calcul des opérations plus profondes, comme la diagonale des combinatoriciens. À terme, ce programme de recherche doit aboutir à la preuve automatique d'identités profondes qui interviennent dans le traîtement de nombreux modèles combinatoires.