Participants : Gaétan Haché,Dominique Lebrigand
Depuis les travaux de GOPPA (1960-70), on sait que les codes géométriques constituent une classe importante de codes correcteurs ; leurs ``bons'' paramètres et leur structure algébrique complexe les désignent naturellement pour certaines applications (construction de codes longs, protocole de protection...). Constructions et classifications sont en cours d'étude, qui nécessitent une collaboration étroite entre Mathématiciens, Théoriciens du Codage et spécialistes de Calcul Formel. L'apport des logiciels de Calcul Formel, qui dans ce contexte doivent être utilisés et même développés par des spécialistes, est très important.
Pour développer ce thème de recherche, le projet entretient des contacts étroits avec l'équipe de D. Lazard pour le calcul formel et avec D. Le Brigand, spécialiste de géométrie algébrique. D. Lebrigand a passé son habilitation cette année et dirige G. Haché, boursier INRIA.
En théorie des nombres, de nombreux travaux portent sur le
nombre de classes des corps quadratiques imaginaires. D.
Lebrigand a étudié l'analogue de ce problème pour les corps de
fonctions ; elle a donné toutes les extensions quadratiques
imaginaires K de 
, 
étant un
corps fini, pour lesquelles le nombre de classes d'idéaux de la
clôture intégrale de 
dans 
est égal à
2. Un article a été accepté pour publication dans les
comptes-rendus du colloque AGCT4 [20]. Dans [58], D. Lebrigand présente la
classification des corps de fonctions algébriques en une
variable, dont le nombre de points de la jacobienne est égal à
deux.
G. Haché, dans le cadre de sa thèse, a élaboré un logiciel
écrit en AXIOM, réalisant la construction effective de codes
géométriques. Tout ce qui est nécessaire pour la construction de
codes géométriques à partir de courbes planes a été réalisé ; on
peut effectuer la désingularisation des courbes planes, le calcul
du genre, le calcul des bases des espaces vectoriels 
associés à un diviseur D
et le calcul de l'ordre (et l'évaluation le cas échéant) d'une
fonction en tout point de la normalisé de la courbe. L'aspect
théorique et algorithmique de cette réalisation a fait l'objet
d'un article écrit conjointement par G. Haché et D. Le Brigand à
IEEE Transactions, édition spéciale sur les codes géométriques
[16].
Pour le calcul des bases, G. Haché a implémenté l'algorithme de Brill - Noether. A ce sujet, G. Haché supervise Kaj Laursen, thésard de l'université de Aalborg en visite au projet CODES, qui travaille en particulier à adapter le logiciel au calcul sur les extensions dynamiques et locales des corps finis. Conjointement avec D. Le Brigand, G. Haché a été invité à participer, à titre de conférencier-animateur, aux cours de calcul formel tenus à l'Université d'Eindhoven du 27 au 30 septembre (Minicourse on Computer Algebra of the Galois network).