Participants : Gilles Dowek, Hugo Herbelin, César Muñoz
Par ailleurs, il se pose le problème de passer d'un système de vérification de preuves à un véritable système de manipulation de preuves, comme le système Coq, c'est-à-dire un système non seulement capable de vérifier une preuve terminée, mais également d'aider l'utilisateur à développer une preuve, en lui fournissant des outils de manipulation de preuves en cours de construction (tactiques).
Pour pouvoir spécifier et développer un véritable système de traitement de démonstrations prouvé correct, il se pose le problème de concevoir un formalisme de preuve comprenant des variables en attente d'être instanciées. Une difficulté quand on travaille avec de telles preuves partielles vient de l'interaction entre les variables en attente d'être instanciées et les variables ordinaires du langage mathématique. Le formalisme des substitutions explicites récemment proposé permet de rendre compte de manière simple et élégante de cette interaction.
En utilisant ce formalisme, G. Dowek, Th. Hardin (LITP et
Projet Para) et C. Kirchner (du projet Prothéo) [6] ont donné une nouvelle
présentation de l'algorithme d'unification dans le 
-calcul simplement typé où les
principales difficultés de l'algorithme classique liées à
l'interaction entre les variables d'unification et les variables
ordinaires disparaissent.
Malheureusement, ce travail ne peut pas s'appliquer
directement au Calcul des Constructions Inductives qui est
une extension conséquente du 
-calcul simplement typé. C. Muñoz a proposé une
présentation avec substitutions explicites du 
-calcul avec types dépendants. Ce travail
doit être encore être généralisé au Calcul des Constructions
Inductives.
Par ailleurs, les présentations originales du 
-calcul avec substitutions
explicites, n'ont pas les propriétés usuelles du 
-calcul typé (en particulier
elles ne vérifient pas la normalisation forte, comme l'a montré
P.A. Melliès du projet Para) et posent de nouveaux problèmes (par
exemple, la confluence sur les termes comprenant des variables à
instancier). C. Muñoz a proposé une nouvelle présentation du
-calcul typé avec
substitutions explicites et prouvé sa normalisation forte et sa
confluence sur les termes comprenant de telles variables.
Parallèlement, H. Herbelin travaille sur un formalisme de preuves basé sur le calcul des séquents dont la coupure s'interprète par l'application d'une substitution explicite. Ce calcul permet d'expliquer de manière plus élémentaire certaines tactiques usuelles.