Participant : Jean-René Beauvais
Depuis Russell, la notion de type a été largement utilisée dans des contextes très divers : en théorie des types, elle permet d'éviter les paradoxes, dans les langages de programmation elle permet de détecter des erreurs au moment de la conception, dans la théorie des types de Martin-Löf, dans le Calcul des Constructions et dans le Calcul des Constructions Inductives, elle établit un lien entre les propositions et leur preuves.
Dans les langages typés, il est nécessaire de distinguer deux sortes d'énoncés : les propositions du langage (par exemple ``2 est pair'') et les jugements de typage (par exemple ``2 est un entier''). Cette distinction assez arbitraire est responsable d'un manque de flexibilité dans l'utilisation de ces langages.
J.-R. Beauvais a développé une variante de la logique du premier ordre dans laquelle la bonne formation et la vérité d'une proposition sont mutuellement dépendantes. Dans ce langage, on doit par exemple démontrer que 2 est un entier pour pouvoir établir que la proposition ``2 est pair'' est bien formée. La proposition ``la proposition `2 est pair' est bien formée'' est elle-même une proposition du langage.
Comme les langues naturelles, les langages exprimés dans ce formalisme distinguent trois notions : la bonne formation syntaxique, la pertinence et la vérité.