L'article [9] étudie
la complexité des problèmes de comptage en filtrage équationnel.
Les problèmes de décision en unification et filtrage équationnel
ont été étudiés il y a déjà une dizaine d'années. Ce sont les
problèmes du type suivant : étant donnés deux termes s et
t, peut-on unifier s avec t, ou filtrer
s sur t, dans la théorie équationnelle définie par
un ensemble fini d'axiomes 
? Plus précisément, la question posée est de savoir
s'il existe un unificateur 
(resp. un filtre 
) tel que l'égalité 
(resp. 
)
est prouvable dans la théorie équationnelle 
engendrée par l'ensemble d'axiomes E. Ces
problèmes de décision sont intéressants pour répondre à une
partie des problèmes qui se posent en déduction automatique. Par
contre, il y a en déduction automatique des problèmes qui
nécessitent le calcul d'ensembles complets d'unificateurs ou de
filtres. Dans ce contexte, les résultats sur la complexité des
problèmes de décision sont inutilisables. La mesure naturelle
pour la complexité du calcul des ensembles complets
d'unificateurs ou de filtres est la complexité du comptage de la
cardinalité de ces ensembles. Il est bien évident qu'on peut
calculer ces ensembles et déterminer leur cardinalité en même
temps.
N. Hermann et Ph. Kolaitis ont étudié d'abord la complexité des problèmes de comptage pour le filtrage dans les semigroupes (A), semigroupes commutatifs (AC), monoïdes commutatifs (ACU) et les théories équationnelles constituées par les axiomes I, U, ACI, ACIU, ACH, ACEnd, où les axiomes qui composent ces ensembles sont
Ils ont aussi considéré quelques restrictions des problèmes précédents, notamment la complexité du comptage pour le filtrage des termes linéaires en semigroupes commutatifs (AC1) et pour le filtrage en type de données Ensemble.
Pour pouvoir analyser la complexité de ces problèmes de comptage, ils ont dû étudier deux nouvelles classes de complexité, introduites par Valiant en 1978. La première est la classe FP des problèmes dont le nombre de solutions est calculable en temps polynomial déterministe. La deuxième est la classe #P des problèmes dont le nombre de solutions est calculable en temps polynomial non-déterministe. Valiant a démontré aussi l'existence des problèmes #P-complets, c'est-à-dire des problèmes les plus difficiles dans la classe #P. En effet, Toda a démontré que la #P-complétude présente un degré d'intractabilité plus élevé que la NP-complétude ou la complétude pour toutes les classes de la hiérarchie polynomiale, à condition de pouvoir comparer les problèmes de décision avec les problèmes de comptage.
N. Hermann et Ph. Kolaitis ont déterminé que tous les problèmes considérés de comptage en filtrage équationnel sont #P-complets. Ces résultats donnent aussi les bornes inférieures pour les problèmes de comptage en unification équationnelle pour les mêmes théories. Ils ont aussi constaté que le problème de comptage de l'unification associative-commutative (dans les semigroupes commutatifs) est encore plus difficile que #P-complet, car ce problème par sa nature doit être situé dans une classe supérieure à #P. Ces deux résultats en complexité de comptage pour le filtrage et l'unification associatifs-commutatifs font aussi la séparation entre ces deux problèmes, ce qui est naturel. Auparavant, la complexité du filtrage et de l'unification des problèmes de décision associatifs-commutatifs (les deux sont NP-complets) ne permettait pas de faire cette distinction.
Les deux auteurs ont obtenu un autre résultat intéressant pour le filtrage des termes linéaires en théorie associative-commutative. Il existe un algorithme polynomial pour le problème de décision, donc il se trouve dans la classe FP. Par contre, ils ont prouvé que le problème de comptage correspondant est #P-complet. Tous les autres problèmes de décision du filtrage dans les théories équationnelles considérées sont NP-complets, donc le fait que les problèmes de comptage correspondants sont #P-complets n'est pas surprenant.