Complexité du comptage pour les problèmes de filtrage associatif-commutatif élémentaires simultanés.

Les problèmes de l'unification et du filtrage les plus étudiés en déduction automatique sont ceux des semigroupes commutatifs dont la théorie équationnelle est engendrée par les axiomes AC. Les résultats obtenus dans l'article [9] pour le filtrage associatif-commutatif ont soulevé la question suivante:

Pour les problèmes de décision et de comptage en filtrage associatif-commutatif, où se trouve la frontière entre les cas tractables et intractables ?

Ils ont obtenu le résultat de #P-complétude du filtrage associatif-commutatif des termes linéaires en présence d'autres symboles fonctionnels non-interprétés. Donc, la frontière espérée entre les cas tractables et intractables pour les problèmes de comptage en filtrage associatif-commutatif devrait se trouver quelque part dans les problèmes élémentaires (les termes sont formés d'un seul symbole associatif-commutatif et de constantes ; il n'y a pas d'autre symbole fonctionnel) et simultanés (conjonction de problèmes élémentaires).

Dans un premier temps, N. Hermann et Ph. Kolaitis ont étudié les problèmes de décision et de comptage en filtrage associatif-commutatif élémentaire simultané qui contiennent au plus k équations et au plus m constantes. Si le nombre d'équations ou le nombre de constantes est arbitraire, ils utilisent la notation . Les résultats pour les problèmes de décision dans les cas et étaient déjà connus auparavant. Ils ont noté que les cas tractables, par rapport au filtrage associatif-commutatif, sont moins nombreux en filtrage associatif et plus nombreux en filtrage ACU.

Dans un deuxième temps, ils ont étudié le nombre d'occurrences de variables dans les problèmes du filtrage associatif-commutatif élémentaire simultané qui contiennent au plus k équations, m constantes et où chaque variable apparaît au plus i fois. Ainsi par exemple, les problèmes sont des problèmes de filtrage AC sur les termes linéaires. Le résultat pour le problème de décision (l'existence d'un algorithme polynomial) fait appel à l'algorithme de b- matching sur les multigraphes.