Participants : Anestis Antoniadis, Hélène Buvat-Dousteyssier, Gérard Grégoire, Pierre Vial
Mots clefs : problème inverse, ondelettes, estimation non paramétrique
Dans un ensemble de travaux maintenant publiés ou en cours de publication nous avons développé des méthodes d'identification de signaux noyés dans du bruit aléatoire par des méthodes de régression non paramétrique fondées sur les notions d'analyse multirésolution et de décomposition en ondelettes. Ces travaux ont introduit de nouveaux types d'estimateur pour des classes de fonctions ``hétérogènes'' (espaces de Besov) basés soit sur le principe de la méthode du noyau ([6]), soit sur celui des moindres carrés pénalisés ([8]). Ils ont également permis de comprendre plus profondément le mécanisme d'autres méthodes d'identification plus classiques.
La plupart des résultats théoriques obtenus ont été de nature asymptotique dans le sens où le nombre d'observations dont on dispose tend vers l'infini. Comme tout résultat asymptotique, il y a certains doutes sur le bien fondé des propriétés asymptotiques lorsque l'on ne dispose que d'un nombre fini et limité d'observations. La limite du nombre d'observations nécessaire pour obtenir des résultats proches des résultats asymptotiques est une question importante que nous avons abordé dans [18]. Nous avons également abordé le problème d'échantillonnage dans le cadre des analyses multirésolutions (voir [46]) permettant la réalisation d'algorithmes d'identification aussi rapides que la FFT. Enfin nous avons établi les liens qui pouvaient exister entre algorithmes de régularisation pour des problèmes mal conditionnés, les méthodes de sélection de modèles et les techniques linéaires de lissage à l'aide d'ondelettes ([35], [27]).
En résumé l'ensemble de ces travaux nous ont permis :