Participants : Emmanuel Blanchard, Jacques Blum, Hélène Buvat-Dousteyssier, Jacques Nguyen
Mots clefs : plasma, fusion nucléaire, problème inverse, contrôle optimal, frontière libre
Identification de sources non linéaires dans des équations elliptiques :
Ce problème est motivé par l'interprétation des mesures expérimentales dans le plasma (gaz ionisé) d'un Tokamak (dispositif expérimental visant à confiner le plasma dans un champ magnétique).
L'équilibre axisymérique du plasma est régi par une EDP elliptique non-linéaire qui s'écrit :
dans le plan de section méridienne du tore de coordonnées
. L'inconnue
est le flux du champ
magnétique ; l'opérateur A est elliptique linéaire ; le
second membre de l'équation (1) représente la densité de courant
du plasma. Le problème est d'identifier les fonctions 
et 
qui ne peuvent être mesurées directement dans le
plasma. Pour ce faire, on dispose d'informations surabondantes
:
* la mesure expérimentale du flux 
et de sa dérivée normale 
sur le bord du domaine (conditions de
Dirichlet et Neumann),
* la connaissance des intégrales sur un certain nombre de
cordes verticales de la composante verticale du champ magnétique
à savoir 
.
De nombreux problèmes ouverts demeurent, comme le problème
mathématique de l'identifiabilité de 
et 
à
partir des mesures et leur étude fera l'objet de la thèse
d'Emmanuel Blanchard. Nous nous intéressons au cas cylindrique où
l'équation (1) devient 
, l'identifiabilité de f à partir de la
condition de Neumann est un problème ouvert dans le cas général.
Des études mathématiques et numériques ont été effectuées pour
améliorer la compréhension de ce problème. Le problème est
formulé par la minimisation de l'écart quadratique entre les
mesures expérimentales et les grandeurs calculées. Une
régularisation de Tikhonov est utilisée pour rendre le problème
stable. La source f est identifiée par décomposition dans
une base de B-splines cubiques. Un algorithme de choix
automatique du paramètre de régularisation est développé, à
l'aide de techniques de validation croisée, qui s'avèrent
cependant assez coûteuses dans la pratique [3]. A l'aide d'un changement de
base par rapport à une norme équivalente à la norme 
, l'identification peut être
réalisée de façon satisfaisante dans une base d'ondelettes à
support compact de I. Daubechies, sans terme de régularisation
dans la fonctionnelle à minimiser [3], [21], [22].
Identification et contrôle optimal de l'équilibre du plasma dans un Tokamak :
Il s'agit d'identifier et de contrôler la frontière libre du plasma dans un Tokamak. Ce problème devient de plus en plus délicat car les machines sont de plus en plus grandes ; la puissance requise devient donc très importante et la forme du plasma devient également plus sophistiquée (séparatrice avec point hyperbolique), pour des raisons de nature physique (meilleur confinement du plasma). La difficulté provient de la nécessité d'identifier la frontière du plasma en temps réel, de façon à la contrôler. Ce travail a été réalisé pour Tore Supra, où le plasma est circulaire [23], [22]. Une collaboration a démarré avec General Atomics à San Diego pour l'identification en temps réel de la frontière du plasma, présentant un point hyperbolique (Divertor Poloidal) et a fait l'objet d'un stage de DEA [43].