Participants : Guy Cohen, Stéphane Gaubert, Jean-Pierre Quadrat
La modélisation des graphes d'événements de façon linéaire dans l'algèbre max-plus est devenue classique. Sous certaines hypothèses de fonctionnement, les réseaux de Pétri plus généraux sont régis par une dynamique qui peut se décomposer en deux parties : une partie linéaire dans l'algèbre ordinaire, une partie linéaire dans l'algèbre max-plus. En fait, dans certains cas que l'on comprend relativement bien, cette dynamique a une interprétation en terme de contrôle stochastique. Il est alors possible d'obtenir une formule calculant le taux de sortie du réseau de Pétri généralisant une formule classique donnant ce taux de sortie dans le cas de graphes d'événements. Ce travail prolonge les recherches de l'an dernier et fait l'objet de deux publications. Dans la première publication, [51], on étudie surtout les graphes d'événements à multiplicateur introduits par A.Munier et on montre sous quelles conditions ils se ramènent à des graphes d'événements classiques et donc deviennent linéaires dans l'algèbre max-plus. Dans la deuxième publication [38], on s'intéresse surtout à la caractérisation des réseaux de Pétri ayant une interprétation en terme de contrôle stochastique. On donne le taux de sortie et on compare les modèles à jetons entiers (réseaux de Pétri classiques) et à jetons infinitésimaux (réseaux de Pétri continus).
Dans un autre travail, [16], on s'intéresse aux relations entrées sorties des réseaux de Pétri. On les classe en fonction des propriétés de cette relation entrée-sortie. On distingue en particulier les systèmes linéaires dans l'algèbre max-plus, les systèmes homogènes dans cette algèbre et les systèmes concaves. Pour chacune de ces classes, on introduit des séries formelles permettant de décrire la relation entrée/sortie. On introduit la notion de potentiel qui permet de ramener un système homogène à un système linéaire ou un système ayant une interprétation en terme de contrôle stochastique ergodique. On a commencé l'étude du comportement asymptotique de chaque classe. Seuls les cas où il y a conservation des jetons ont été bien compris. L'analyse des autres comportements reste parcellaire et sera poursuivie dans l'avenir.