Les travaux amorcés il y a deux ans dans le cadre d'une
collaboration avec le programme Praxitèle (cf. §
4), ont été publiés dans
[9] et [4]. Il s'agissait d'étudier le
déplacement d'un véhicule sur un graphe. Le modèle proposé se
présente comme un système à polling, avec routage
Markovien dépendant de l'état (présence ou non d'un client à
la dernière station visitée) et discipline de service
1-limitée. On obtient les conditions nécessaires et
suffisantes d'ergodicité à l'aide de fonctions de Lyapounov
construites sur un système dynamique associé (cf. § 3.3.1). En outre, on donne le temps
d'attente moyen d'un client lorsque le système possède une
propriété de symétrie de rotation. L'équation fonctionnelle
décrivant l'évolution du processus est analysée via une
approche matricielle, fondée sur certaines propriétés des
matrices circulantes.
Par contre, dans le cas particulier où on suppose que le
taxi, arrivant à une station vide, attend les clients, le
système n'est jamais ergodique (il est récurrent nul si le
vecteur des intensités d'arrivées à chaque station est
proportionnel à la mesure invariante de la matrice de
routage) et cette propriété reste valable pour un nombre
N arbitraire de véhicules [18]. Plusieurs questions ouvertes,
touchant principalement aux vitesses d'explosion, vont être
abordées.
Dans ce travail, mené en collaboration avec R. Jaïbi
(Université de Tunis), on obtient une condition nécessaire et
suffisante explicite de stabilité, en étudiant un modèle
fluide associé (cette technique très féconde
intervient aussi dans l'étude de marches aléatoires dans
). Les N
serveurs ont un routage Markovien et les politiques de
service sont aléatoires limitées (i.e. le nombre
maximal de clients servis lors du passage d'un serveur à une
station est intégrable) [21].
Le cas de politiques illimitées (par exemple exhaustives) est
en cours d'étude.