Participants : Jean-Baptiste Pomet, Joachim Rudolph (Universiti de Stuttgart, All.), Eduardo Aranda-Bricaire (CINVESTAV, Mexico, Mex.)
Mots clefs : automatique non linéaire, feedback non linéaire
Une transformation par retour d'état statique d'un système dynamique contrôlé est une reparamétrisation (non singulière) des commandes, dépendant de l'état. Une transformation par retour d'état dynamique d'un système dynamique contrôlé consiste à effectuer une extension dynamique (augmentation de l'état et attribution d'une dynamique aux nouveaux états) suivi d'une transformation par retour d'état statique sur le système augmenté. Du point de vue des problèmes de commande, l'intérêt de telles transformations, dans le cas où le système obtenu possède une structure plus exploitable que l'original, est qu'une commande permettant de satisfaire un certain objectif sur le système transformé peut être utilisée pour commander le système original en incluant l'extension dynamique dans le contrôleur.
Evidemment, un cas favorable est celui où le système transformé est linéaire. Le problème de la linéarisation dynamique est celui de trouver des conditions explicites sur un système pour qu'existe une transformation par retour d'état dynamique le rendant linéaire. Ce problème a été très étudié ces dix dernières années. Le cas de la linéarisation statique est réglé depuis une dizaine d'années. Considérer des feedbacks dynamiques élargit évidemment les possibilités.
Des travaux récents (M. Fliess, J. Lévine, P. Martin, P. Rouchon) ont montré qu'un feedback dynamique linéarisant existe si et seulement si il existe un certain nombre de fonctions de l'état et de dérivées de la commande qui ne sont liées par aucune équation différentielle, et qui ``paramètrent toutes les trajectoires''. Cette propriété est appellée platitude différentielle, et les fonctions en question fonctions linéarisantes (ou sorties plates). Ceci donne un intérêt nouveau au problème car ces fonctions permettent de simplifier certains problèmes comme la planification de trajectoire. C'est aussi une manière plus systématique de s'attaquer au problème de la linéarisation dynamique : rechercher des fonctions linéarisantes (et des conditions qui assurent leur existence).
Une collaboration avec le Laboratoire d'Automatique de Nantes avait permis de mettre en évidence, sous le nom de forme de Brunovský infinitésimale, l'existence de formes différentielles, non forcément intégrables, qui vérifient exactement la propriété que l'on attend des différentielles des fonctions linéarisantes lorsqu'elles existent, hormis qu'elles ne fournissent pas de fonctions si elles ne sont pas intégrables. Cela permet de formuler la recherche de sorties linéarisantes comme celle de transformations sur les familles de formes différentielles qui préservent ces propriétés et en plus les rendent intégrables. Voir les publications [7,6].
Un cadre de géométrie différentielle de dimension infinie (espaces de jets infinis) a été développé pour rendre plus géométriques les notions de feedback dynamique et de fonctions linéarisantes. La publication [16] le présente en détail, et [6] présente les résultats de [7] dans ce cadre.
Cette approche a été utilisée pour traiter le cas des systèmes
dans 
(état de
dimension 4) à deux commandes, avec une dynamique dépendant de
manière affine de ces deux commandes réelles (ce sont les
premières dimensions non triviales). On parvient ansi à donner
des conditions nécessaires et suffisantes pour l'existence de
fonctions linéarisantes dépendant de l'état et de la commande. Un
premier travail avait été soumis -- et accepté pour publication
moyennant des modifications -- en 1993 aux Annales de l'IHP ; une
version améliorée et simplifiée sera disponible très
prochainement.
Enfin, la forme de Brunovský infinitésimale se montre
utile même pour des problèmes de transformations par feedback
statique. Dans la classe des systèmes affines et sans
dérive (c'est à dire de la forme 
, typiquement des systèmes mécaniques non holonomes
commandés en vitesse), certains sytèmes, dits ``chaînés'', ont
l'intérêt de donner lieu à des solutions simples des problèmes de
planification de trajectoire, ou de stabilisation (voir
paragraphe 3.2.1). Il est donc
intéressant de savoir quand un système affine et sans dérive peut
être transformé en un système chaîné par un retour d'état non
singulier. Ce problème est résolu dans [18] où l'utilisation de la forme de
Brunovský infinitésimale conduit à une caractérisation
particulièrement simple. En particulier la non-singularité du
feedback statique se lit exactement dans les singularités de la
construction de la forme de Brunovský infinitésimale.