Participants : Stéphane Crepey, Odile Pourtallier, Mabel Tidball (Univ. Rosario, Arg.)
On s'intéresse ici aux méthodes numériques portant sur la résolution de jeux différentiels à deux joueurs, somme nulle et information parfaite, plus particulièrement les jeux de poursuite-évasion. La fonction Valeur d'un tel jeu satisfait, sous des conditions de régularité, une EDP, l'équation d'Isaacs (ou Hamilton-Jacobi-Bellman pour le contrôle). Dans le cas où cette fonction Valeur n'est que continue, il faut faire appel aux notions de solutions faibles de l'EDP, les solutions de viscosité continues, et si l'on n'a pas la continuité (ce qui est souvent le cas dans les jeux), on utilisera les notions de solution de viscosité discontinues.
On a étudié plus particulièrement un schéma numérique d'approximation de la solution de cette EDP, qui est une adaptation au cas des jeux d'un schéma numérique dû à H. Kushner dans le cas du contrôle stochastique. Ce schéma conduit à approximer le jeu continu par un jeu stochastique sur l'espace d'état discrétisé.
La poursuite de l'étude comparative avec d'autres méthodes numériques (en particulier un autre schéma d'approximation initialisé par Capuzzo-Dolcetta (Rome) et étudié par une équipe de chercheurs italiens (Bardi et Soravia à Padoue et Falcone à Rome...), et des méthodes issues de l'analyse multivoque étudiées dans l'équipe de J.P. Aubin au CEREMADE (notamment par M. Quincampoix, P. Saint-Pierre, et P. Cardaliaguet), a montré l'extrême similitude des programmes numériques issus de ces différentes approches. On a fait ressortir une propriété de transition locale du schéma numérique auquel on s'intéresse plus particulièrement. Son exploitation semble pouvoir conduire à un gain de temps significatif lors du déroulement des algorithmes [5].