Participants : Michel Pierre, Didier Schmitt
Nous avons poursuivi notre étude systématique de l'existence globale en temps de solutions pour des systèmes de réaction-diffusion présentant les deux propriétés fondamentales suivantes qui apparaissent naturellement dans de nombreuses applications : la positivité des solutions est préservée au cours du temps et la somme des termes réactifs est négative ou nulle ( ce qui implique en général que la masse totale des composants est décroissante au cours du temps). Ces systèmes s'écrivent par exemple
où 
sont les
coefficients de diffusion, 
représentent les interactions non linéaires qui sont
donc supposées respecter la positivité au cours du temps soit
:
et, par exemple, 
.
Pour le système d'équations différentielles ordinaires associé (c'est-à-dire sans les diffusions), ces deux propriétés assurent l'existence globale en temps de solutions pour toute donnée initiale positive. La question générale est de savoir dans quelle mesure le système complet a des propriétés analogues. C'est le cas si les coefficients de diffusion sont identiques.
Par contre, nous avions montré à l'aide de contre-exemples
explicites construits avec l'aide d'un logiciel de calcul formel
que, à elles seules, ces deux propriétés n'assuraient pas
l'existence globale de solutions bornées. Il peut, en effet, y
avoir concentration ponctuelle de masse à certains instants et
donc explosion de la norme 
en temps fini. En améliorant les premiers
contre-exemples, nous avons pu montrer récemment que l'explosion
en temps fini pouvait même avoir lieu en dimension d'espace égale
à 1. Ces contre-exemples, ainsi que des conséquences
intéressantes concernant des questions apparemment tout à fait
indépendantes sur des équations à coefficients discontinus,
peuvent être trouvées dans [59]. Par ailleurs, de nombreux
autres résultats figurent dans [2]. Une étude de l'existence de
solutions faibles pour des données initiales 
ou même mesures fait aussi l'objet de
[61]
La question d'existence globale de solutions faibles (non nécessairement bornées) sous les deux propriétés fondamentales ci-dessus reste encore ouverte et fait l'objet de nouvelles réflexions dans le projet.
Nous avons également continué à analyser l'influence de
dépendances en 
pour
les nonlinéarités f et g. La situation est encore
plus délicate puisque nécessitant d'emblée des estimations sur
les gradients. Le cas parabolique "triangulaire" (i.e. quand, de
plus, une équation est "bonne") est traité dans [28] pour des dépendances
sous-quadratiques.
Plusieurs modèles de dynamique des populations se présentent aussi assez naturellement avec nos deux propriétés ci-dessus. Avec M. Langlais, nous avons terminé [70] un travail pour des modèles de propagation d'épidémie dans une population dont la structure dépend de l'âge et du milieu ambiant et pour laquelle quatre classes d'individus peuvent apparaître selon qu'ils sont contaminés on non. Les techniques développées pour les systèmes de réaction-diffusion usuels nous ont permis de prouver l'existence globale en temps pour le modèle.