Participants : Christine Bernier, Evgueni Kazantsev, Mikhaïl Tolstykh, Michel Pierre
Ce thème, encore récent dans le projet, relève de l'analyse mathématique et de la simulation numérique pour des modèles en océanographie et météorologie. Une des questions principalement étudiée est la prédicibilité pour les modèles quasi-géostrophiques (QG) multicouche des circulations océaniques et atmosphériques. Le problème de la prédicibilité consiste, par exemple, à donner une estimation du temps pendant lesquel on est capable, compte-tenu de l'état présent, de prédire de facon raisonnablement précise l'évolution du phénomène considéré (circulation océanique, temps, climat, ...). Du point de vue mathématique, cela consiste à estimer la vitesse de croissance au cours du temps de petites erreurs des données initiales et donc à calculer des exposants de Lyapounov.
Pour le modèle QG, nous calculons numériquement les exposants de Lyapounov globaux qui mesurent la prédicibilité en " temps infini". En fait, il est plus intéressant pour les applications de calculer des exposants de Lyapounov locaux qui estiment la prédicibilité pour des intervalles finis, de longueur variable. Nous avons calculé les 3 premiers exposants de Lyapounov locaux pour le modèle QG à une ou deux couches pour divers intervalles de temps, ce, pour un domaine carré et pour l'Atlantique Nord. Les modes correspondants montrent bien les différences des évolutions spatiales selon qu'il s'agit, par exemple, de prévisions à un jour ou à 1 mois [68].
Parallèlement, des estimations théoriques des exposants de Lyapounov ont été établies pour les mêmes modèles. La comparaison des deux révèle une corrélation très forte [26,49,27].
D'autres simulations numériques ont été effectuées par paramétrisation des échelles sous-grilles en modèle barotrope (dans l'esprit des travaux précédents de R. Robert, J. Sommeria) [31,54].
Un travail théorique est en cours pour déterminer l'unicité (ou la non-unicité) de la solution d'un modèle multicouche de circulations océaniques lorsque le courant de surface est donné: cette question est naturelle en assimilation de données où les mesures sont faites en surface. Des résultats partiels d'unicité sont obtenus sous des hypothèses supplémentaires. La question générale reste ouverte.
Dans le cadre du CCH, des algorithmes numériques ont été développés ([43]) pour le modèle atmosphérique semi-lagrangien en "eau peu profonde" sur la sphère reposant sur l'équation de vorticité potentielle. L'objectif est d'obtenir des algorithmes assez robustes pour intégrer le modèle sur des temps très longs et, pour cela, des schémas d'ordre élevé sont utilisés: interpolation d'Hermite d'ordre 5 pour l'advection, une FFT en longitude et différences finies compactes d'ordre 4 en latitude pour l'équation de type Helmholtz... Plusieurs tests sont faits avec données réelles. Un travail est en cours pour généraliser ce modèle dans le cas 3-d.[23,43].
Cette recherche s'effectue en collaboration avec l'Institut de Mathématiques Numériques de l'Académie des Sciences de Russie à Moscou et fait l'objet d'un projet spécifique dans le cadre de l'Institut Lyapounov. Des échanges suivis sur ce sujet ont lieu avec le projet IDOPT et l'Institut de Mécanique de Grenoble (J. Verron, C. Le Provost).