Participants : Mireille Bossy, Denis Talay
Nous poursuivons l'étude engagée sur ce sujet, aussi bien sur le plan de l'analyse théorique de la vitesse de convergence que sur le plan de l'implémentation numérique. On s'intéresse a la résolution d'équations aux dérivées partielles de type équation de McKean-Vlasov :
D'après les résultats de propagation du chaos, la
solution 
de cette
équation s'interprète de façon probabiliste comme la loi limite
de particules en interaction dont la dynamique est décrite par
des ``noyaux d'interaction'' 
, 
et un
système d'équations différentielles stochastiques :
Quand le nombre de particules tend vers l'infini, la mesure
empirique des particules à l'instant t converge vers
. A partir de cette
interprétation probabiliste, M. Bossy et D. Talay ont développé
un algorithme d'approximation de 
fondé sur la simulation du système de particules
. La mesure initiale
est approchée par une
combinaison linéaire de masses de Dirac, ce qui fixe les
positions initiales des particules. Les particules sont déplacées
au cours du temps en simulant une (et une seule) réalisation
approchée du système 
ci-dessus.
L'an dernier nous avions traité le cas de noyaux 
, 
lipschitziens et le cas où 
, H étant la fonction de Heaviside.
Nous avions montré que dans ce cas la fonction de répartition de
la loi 
est solution
forte de l'équation de Burgers
et que, si 
représente la fonction de répartition empirique des positions des
particules à l'instant t, l'erreur d'approximation
est d'ordre
. Cette année nous
avons effectué des essais numériques soignés montrant
l'adéquation entre la vitesse de convergence théorique et le
comportement numérique de l'algorithme, ainsi que le très bon
comportement de la méthode lorsque le coefficient de diffusion
tend vers zéro. En collaboration avec le projet CAIMAN, une étude
sur la comparaison de performance sur ce cas test entre une
méthode particulaire et certaines méthodes déterministes est en
cours.
Notre objectif actuel est d'étendre notre analyse à certains
noyaux singuliers afin d'obtenir des résultats attendus sur les
méthodes de vortex aléatoire pour l'équation de Navier-Stokes
incompressible 2-D écrite en termes de vorticité. Ainsi, nous
avons continué d'explorer le cas 
: l'équation de McKean-Vlasov correspondante est
l'équation de Burgers elle-même, si bien que la solution est
alors approchée par une régularisation de la mesure empirique des
particules correspondant à ce nouveau choix de noyau
d'interaction. Les résultats partiels obtenus sont encore trop
grossiers. Dans ce cas comme dans celui de l'équation de
Navier-Stokes, le noyau d'interaction doit être régularisé pour
les besoins de la simulation. La prise en compte de ce paramètre
de régularisation rend les estimations précises de vitesse de
convergence très délicates.