Participants : David Chevance, Marco Dozzi, Axel Grorud, Denis Talay
V. Bally (université du Mans et laboratoire de Probabilités
(Paris 6)) et D. Talay ont achevé l'étude du développement
asymptotique de 
où
est la densité de la
loi de 
avec
solution d'une
équation différentielle stochastique brownienne, et 
est la loi de 
défini par une petite
perturbation du schéma d'Euler de pas 
(la loi de la variable aléatoire 
définie par le schéma d'Euler
peut ne pas avoir de densité). Le développement est obtenu en
tous points x,y où la condition de Hörmander requiert des
crochets de Lie de longueur plus petite qu'un entier arbitraire
L, et à l'aide du calcul de Malliavin on donne des
majorations assez fines pour les coefficients du
développement.
P. Protter (Purdue University) et D. Talay ont abordé une nouvelle direction pour leur travail sur l'approximation de solutions d'équations différentielles stochastiques gouvernées par des processus de Lévy assez généraux : au lieu de considérer une discrétisation par le schéma d'Euler (travail achevé) ils considérent à présent des méthodes de simulation fondées sur l'approximation du processus de Lévy directeur par des processus de Poisson composés.
Les préocupations récentes des probabilités numériques concernant la simulation de solutions d'équations différentielles stochastiques ont conduit M. Dozzi à s'intéresser à la discrétisation des équations différentielles stochastiques à plusieurs indices de temps, par exemple du type
où 
désigne le
rectangle 
et où
est le drap brownien.
Pour ce type d'équation M. Dozzi a construit l'analogue du schéma
d'Euler et a obtenu sa vitesse de convergence en moyenne
quadratique. Par contre, le schéma de Milshtein semble pour
l'instant résister à une généralisation au cas des processus à
plusieurs indices, du moins sous une forme autorisant une
simulation effective sur un ordianteur.
D. Chevance a poursuivi son travail sur la discrétisation des équations différentielles stochastiques en temps rétrograde introduites par Peng et Pardoux, qui fournissent une interprétation probabiliste originale à certains sytèmes d'équations aux dérivées partielles paraboliques quasi-linéaires par exemple, et qui ont un lien naturel avec certains problèmes d'évaluation d'options en mathématiques financières. Le but est de résoudre numériquement une équation différentielle stochastique rétrograde du type :
où le processus 
est solution de l'équation différentielle stochastique
la solution 
étant
adaptée par rapport à la filtration brownienne. Une telle
équation constitue une interprétation probabiliste de l'équation
aux dérivées partielles parabolique quasi-linéaire
où
D. Chevance a entrepris la construction et l'analyse d'un algorithme pour le cas multidimensionnel (le cas unidimensionnel ayant été traité l'an dernier) et s'est intéressé à la discrétisation des équations différentielles stochastiques en temps rétrograde et réfléchies qui sont liées aux prix d'options américaines.
