Participants : Patrick Seumen Tonou, Denis Talay
Ce travail s'effectue dans le cadre d'une collaboration avec l'E.D.F. sur les méthodes de Monte-Carlo pour certaines équations aux dérivées partielles, en particulier les équations de transport neutronique.
Les équations de transport permettent de déterminer la distribution de particules dans un milieu en prenant en compte le déplacement des particules et leur interaction avec le milieu. Elles sont du type
avec des conditions aux limites qui peuvent être de type
Dirichlet, Neumann ou absorption ; 
est une fonction mesurable, bornée, positive, à
valeurs dans 
,
c un coefficient d'amortissement, 
la densité d'une mesure de probabilité et
est un terme source.
Il est bien connu que l'équation ci-dessus peut être interprétée
de manière probabiliste, à l'aide d'un processus stochastique dit
de ``transport'' 
,
vérifiant l'équation différentielle
où 
est un
processus de sauts. Sous des hypothèses de régularités de
g, b, 
et 
, avec c=s=0
pour simplifier, s'il existe une solution régulière de l'équation
ci-dessus dans tout l'espace, alors elle vérifie : 
.
Une question importante est donc de montrer a priori que
u est régulière. Sous les hypothèses de régularités de
g, b, 
et 
, nous avons montré
que, pour tout y fixé, la fonction 
est de classe 
. Ce résultat a permis d'établir la vitesse de
convergence de 
vers
, où 
est le processus d'approximation
que l'on simule lors de la procédure de Monte--Carlo.
Pour la partie numérique des équations de transport, l'an dernier nous avions construit à l'aide des méthodes de Monte-Carlo, des algorithmes de calcul du flux scalaire moyen sur quelques cas-tests proposés par l'E.D.F. Cette année, on s'est intéressé à l'implémentation de ces algorithmes sur des architectures parallèles de type CRAY-T3D ou ensemble de stations de travail gérées par une programmation PVM. On a ainsi obtenu des gains de temps de calcul très considérables.