Participants : Pascal Desnoguès, Olivier Devillers
Soit une surface 
et 
un ensemble de
points pris sur cette surface. Si on projette 
dans le plan xy et qu'on construit
une triangulation de son enveloppe convexe, on obtient, en
relevant cette triangulation, une approximation linéaire par
morceaux de la surface. La qualité d'une triangulation est alors
liée à une mesure de l'erreur de l'approximation et on cherche à
caractériser les triangulations optimales de ce point de vue.
Jusqu'à présent, rien de probant n'avait été trouvé dans les cas
d'approximation de surfaces non convexes : on s'est donc attaché
à étudier une surface non convexe simple, le paraboloïde
hyperbolique défini par 
. Les recherches commencées l'année passée, où le
critère d'optimalité choisi était la minimisation de l'erreur
, ont abouti à la
naissance d'un algorithme simple de choix des triangles (parmi
ceux possibles), qui fonctionne en fait pour n'importe quelle
quadrique et donne une triangulation localement optimale de
[18]. Cet algorithme, à base
d'échanges de diagonales ( swap), a été testé de façon
intensive, et on a pu observer un gain moyen de 10% par rapport à
l'erreur commise avec la triangulation de Delaunay, avec un
nombre moyen de swaps assez faible (12 pour 33 points initiaux,
45 pour 100 points).
D'autres recherches ont alors été menées, pour voir si un tel
algorithme était envisageable en utilisant d'autres normes
(
et 
). Par ailleurs, un algorithme de
recherche de la triangulation globalement optimale des points de
a été programmé pour
constater si les minimums locaux obtenus étaient éloignés ou pas
du minimum global. Cependant, cet algorithme n'est pas encore
utilisable, sauf avec des ensembles de points de taille
restreinte (12 à 15).