Participants : Matthew Katz, Franck Nielsen
Soit 
un ensemble de
n objets convexes où 
est la famille des convexes. On désire trouver un
ensemble de points 
tel
que : pour tout objet 
il existe un point 
tel que 
. Si
alors on dira que
est k-perçable
(
est vraie). Trouver
un ensemble 
de taille
minimale étant NP-complet, on s'intéresse à ce problème pour de
petites valeurs k. Étudier la propriété 
permet de résoudre toute une
série de problèmes d'optimisation où l'on cherche à trouver le
plus petit facteur d'homothétie tel que l'on puisse couvrir un
ensemble de points par k copies homothétiques d'un objet
(placement optimisé d'antennes en radio-téléphonie, etc.).
On dit que 
a un
théorème de Helly pour la propriété P ssi pour toute
famille 
il existe une
constante h telle que : on a 
, avec 
, 
si et
seulement si on a 
.
Notons 
le nombre de
Helly.
Nous donnons une batterie d'algorithmes efficaces qui
déterminent 
pour de
faibles valeurs de k en considérant la famille 
des objets c-orientés
(définis par l'intersection d'au plus c demi-espaces).
Certains algorithmes constituent une preuve que 
, c'est-à-dire qu'il existe un
théorème de Helly. De même, nous donnons des familles qui
n'admettent pas de théorème de Helly pour 
[33].