Le développement des logiques 
et 
dans
[26] a pour but
principal de donner un cadre formel simple, basé sur la théorie
des ensembles, qui admet un typage expressif, des fonctions
d'ordre supérieur et des modèles initiaux. La logique 
est une logique de clauses de
Horn avec une relation d'appartenance 
. Le paramètre n, qui est un nombre
naturel 
, donne une
borne sur la profondeur d'imbrication pour les ensembles utilisés
dans les interprétations. Par analogie avec Whitehead et Russell
( Principia Mathematica), nous affectons des ordres
aux variables et
termes, de telle sorte qu'un terme d'ordre 0 soit
interprété comme valeur individuelle, et un terme d'ordre
1 ou plus grand soit un ensemble. De plus, les formules
sont stratifiées, afin d'éviter le paradoxe de Russell. La
différence avec la théorie des types de Russell est la prise en
compte de modèles non-standards, i.e. qui ne sont pas engendrés
par des termes. Ceci nécessite des fonctions de choix,
déterministes dans notre approche, et un axiome d'extensionalité
non-standard.
Les présentations en logique 
ou 
ont
une signature et des axiomes sous forme de clauses de Horn,
incluant des formules d'appartenance conditionnelles et des
égalités conditionnelles, qui permettent de traiter des types
paramétrés et dépendants. Nous avons proposé des systèmes de
déduction corrects et complets pour les logiques 
et 
et montré que toute présentation 
ou 
possède un modèle minimal dans la catégorie des
modèles associée [26].
Les techniques de saturation développées en logique du premier
ordre peuvent s'adapter pour vérifier la consistance ou prouver
des propriétés des 
ou
présentations. Nous
avons proposé une procédure de saturation par superposition
basique, qui est réfutationnellement complète, respectivement
pour la logique 
et
pour la logique 
[4].