Nous avions montré l'an dernier comment calculer dans les
algèbres avec sortes ordonnées définies axiomatiquement par des
formules égalitaires, d'appartenance ou d'existence. La notion de
termes décorés permet de mémoriser dans un terme l'information
locale de type et son enrichissement au cours de la déduction, au
moyen d'un processus de réécriture agissant à la fois sur les
termes et sur leurs décorations. Une procédure de complétion pour
les présentations équationnelles avec sortes ordonnées produit,
quand elle peut orienter toutes les égalités, un système de
règles complété, qui permet de prouver non seulement des
théorèmes égalitaires du type 
, mais aussi des formules d'appartenance 
d'un terme t à une sorte
A. Cette procédure de complétion présuppose la propriété
d'héritage de sortes de la présentation, nécessaire pour la
complétude du calcul de paires critiques. Dans [24], nous décrivons une
procédure, basée sur la superposition de règles de décoration,
qui permet de tester cette propriété. Quand elle n'est pas
satisfaite, un contre-exemple qui peut être exploité afin
d'enrichir la structure de sortes est alors synthétisé. Pour
établir la complétude de ce test, nous distinguons trois cas, par
ordre croissant de difficulté, en fonction de la forme des règles
de décoration: plates et linéaires, plates ou sans
restrictions.
L'utilisation des termes décorés a été étendue à une procédure
de saturation définie dans fragment de la logique 
, suffisant pour traiter le
sous-typage paramétré.
Un calcul de saturation décoré incluant le test d'héritage de
sortes, est proposé dans [4]. Nous avons prouvé qu'il
est réfutationnellement complet dans le fragment de la logique
considéré.