Participant : Jean-Antoine Désidéri, Christophe Ruelle (ESSI)
Il existe des situations où même lorsque l'on dispose d'un
code par eléments finis non-structurés, on peut vouloir effectuer
certains calculs sur un maillage structuré régulier (obtention de
solutions de référence, calculs de couches limites, etc, ...).
Une manière de construire un maillage structuré régulier (ici
plan) consiste à résoudre par différences finies un jeu
d'équations aux dérivées partielles définissant une carte
permettant de passer du plan cartésien 
(dans lequel sont imposées une ou plusieurs
frontières du domaine de calcul souhaité) au plan transformé
. Par exemple, on peut
résoudre le système `` orthogonalité-volume'' proposé par Steger
:
où 
est une
fonction à choisir définissant la répartition des aires.
Pour ce système, on a déterminé un jeu de conditons aux
limites adéquates. Grace à cela, faisant jouer à la fonction
le rôle de contrôle,
et définissant une certaine fonctionnelle de coût liée par
exemple à la régularité des bords ou de l'intérieur, on a pu
établir rigoureusement l'expression du gradient par la technique
de l'équation adjointe, ce qui ouvre le champ de certaines
techniques d'optimisation. Par ailleurs, ce système hyperbolique
d'état a une forme peu commune puisqu'il est homogène de degré
-1. Son approximation par un schéma décentré a été étudiée. On a
montré en particulier que la construction de type Steger-Warming
est impropre. Cependant, on a pu formuler un schéma stable de
type Roe [18]. On compte
utiliser cette formulation pour des applications 2D et 3D en
prismes.
Il est à noter que ces méthodes sont techniquement très voisines de certaines procédures de contrôle d'interface utilisées dans le contexte de méthodes de résolution par décomposition de domaines auxquelles on s'intéresse indépendamment des questions de génération de maillage.