Commande de systèmes à retards

Participants : Frédéric Aimard, Catherine Bonnet, Papa Momar Ndiaye, Michel Sorine

La motivation pour l'étude de systèmes à retards vient de nos applications automobiles. Nous considérons trois types de problèmes :

• Prise en compte des retards intervenant dans la régulation de richesse des gaz d'échappement et dans des problèmes de commande de pots catalytiques. Nous étudions des variantes de contrôleurs dits "prédicteurs de Smith" pour ce dernier système qui se comporte essentiellement comme un intégrateur nonlinéaire à retard (voir plus bas, la coopération avec Renault).
• Les retards interviennent aussi dans l'étude de la commande d'organes d'automobile à travers un bus multiplexé. Ici ils sont dus aux temps d'attente pour accéder au bus et le traverser. Nous avons poursuivi l'étude de ce cas sous l'angle "perturbations singulières" en examinant la sensibilité à de petits retards de la stabilité et des performances de divers contrôleurs, conçus a priori pour des systèmes linéaires sans retard et des coûts quadratiques. Un gradient des performances par rapport au retard à été calculé pour plusieurs types de coût, ce qui devrait faciliter l'implémentation de ces contrôleurs.
• Nous considérons, en collaboration avec J.R. Partington (Université de Leeds), la stabilisation robuste des systèmes linéaires de dimension infinie (ce qui recouvre des cas de retards) dans le cadre et introduisons une nouvelle distance dans l'espace des systèmes -stabilisables qui induit la topologie du gap et qui est facilement calculable. Nous prouvons que la robustesse relativement à des perturbations dans cette métrique est facilement reliée à la robustesse relativement à des perturbations sur les facteurs coprimes. Considérant le problème d'optimisation de la robustesse nous montrons que le contrôleur optimal de Glover et McFarlane (et Georgiou et Smith) dans le cadre joue un rôle important dans ce cadre également. Comme la distance proposée est facilement reliée à l'approximation et à l'identification, nous pouvons calculer la marge de robustesse optimale et le contrôleur optimal d'un système donné comme limite de ceux de systèmes approchants.
  Enfin, nous considérons le problème de stabilisation robuste dans de l'intégrateur à retard. Nous proposons une famille (indexée par le retard) de factorisations coprimes normalisées et facteurs de Bezout. Nous avons choisi des facteurs de Bezout convergeant vers les facteurs de Bezout de l'intégrateur quand le retard tend vers zéro afin de pouvoir utiliser les résultats de convergence précédents, ce qui est possible puisqu'une variation de retard correspond à une variation dans la topologie du gap BIBO. Georgiou et Smith ont déjà résolu dans le cadre le problème d'optimisation de la robustesse pour les systèmes à retards. L'intérêt de donner une paramétrisation de tous les contrôleurs stabilisants est de pouvoir résoudre des problèmes d'optimisation couplés tenant compte de la stabilité et des performances.