Participants : Pierre-Alexandre Bliman, Alexandre M. Krasnosel'skii, Michel Sorine
L'étude du couplage de nos modèles de frottement, ou plus
généralement de modèles d'hystérésis, avec des équations
différentielles est intéressante. On rencontre ce type d'équation
par exemple pour représenter les petits mouvements d'un système
mécanique en présence d'un frottement sec ou comme modèle d'un
système commandé à l'aide d'éléments nonlinéaires (capteurs
"tout-ou-rien" par exemple). Il est important de comprendre le
comportement qualitatif, parfois complexe, de tels systèmes.
Après avoir étudié les oscillations forcées et les phénomènes de
résonance paramétrique, situations rencontrées dans nos
applications, nous avons étudié cette année, en collaboration
avec A.M. Krasnosel'skii, le cas où la fréquence du terme de
forçage tend vers l'infini, intéressant du fait des phénomènes de
linéarisation associés : cela correspond par exemple à
l'utilisation d'un "dither" (vibration haute fréquence parfois
imposée à un système mécanique pour réduire l'effet de
frottements secs). Nous avons considéré les systèmes de la forme
:
où L et M sont des polynômes différentiels, H l'opérateur d'hystérésis, f l'entrée principale et d le terme de forçage périodique haute fréquence (le dither). Nous avons obtenu des conditions sur d (relation amplitude/fréquence) assurant un comportement asymptotique (i.e. pour les hautes fréquences de d) linéaire.