Participants : Hervé Bernier, Fabien Campillo, Frédéric Cérou, Etienne Pardoux, Elisabeth Remy
Mots clefs : processus stochastique, équation aux dérivées partielles, équation différentielle stochastique, algorithme numérique, algorithme parallèle, analyse numérique, approximation, calcul scientifique
Contrat de Recherche IFP/INRIA. Collaboration avec Bernard Noetinger (IFP Pau) et Dominique Guérillot (IFP Rueil-Malmaison).
On s'intéresse à des écoulements mono ou diphasiques (huile ou
eau/huile) dans les gisements de pétrole. La grande hétérogénéité
du sous-sol conduit à modéliser la perméabilité comme un champ
aléatoire 
où D
--- le gisement --- est un domaine de 
, 
ou
. Par contre, la
viscosité 
, qui est
une propriété du fluide, sera constante dans chaque phase.
Pour un écoulement monophasique, le débit est régi par la loi de Darcy :
où 
est la vitesse
de filtration et 
la
pression au point x.
À l'équation on associe les conditions aux limites adéquates :
flux nul (
) au bord du
gisement, pression donnée aux puits.
Dans le cas d'un écoulement incompressible (hypothèse réaliste
pour l'huile), 
,
l'équation de Darcy devient :
On s'intéresse dans un premier temps au calcul des moments de
q aux puits. On peut se donner la loi de 
en posant par exemple :
où 
est une
fonction déterministe et 
un champ aléatoire de moyenne nulle (qui n'est pas
un bruit blanc !).
On cherchera les diverses approches possibles pour ce
problème, en commençant éventuellement par le cas du modèle en
dimension 1 (i.e. on utilise un modèle de ``barreau'' :
), où la quantité
intéressante semble être le champ 
, et en examinant la littérature sur le sujet (Dikov,
Hornung, Gelhar). On n'exclura pas le point de vue
``homogénéisation aléatoire'' et ``convergence vers le bruit
blanc'' (avec terme correctif). On pourra d'ailleurs donner un
sens précis à cette dernière notion (milieu dit "décorrélé "), où
l'importante notion de support des mesures joue un grand
rôle.
Après un tour d'horizon des résultats et méthodes disponibles dans la littérature, nous nous sommes intéressés à un problème en relation avec l'ingénierie des réservoirs pétroliers (cf. paragraphe 4.1).
Il s'agit, à partir d'une réalisation du champ de perméabilité d'une couche géologique, de calculer numériquement la perméabilité effective du milieu, définie comme étant la perméabilité constante donnant les mêmes flux globaux pour un fluide incompressible. Pour calculer ces flux, à partir d'une même discrétisation par différences finies, plusieurs méthodes ont été utilisées: résolution par méthode directe du système linéaire, résolution par méthode multigrille, résolution par méthode de renormalisation (proposée par Gautier et Noetinger de l'IFP).
Différents langages de programmation sont utilisés : Fortran 77, CM Fortran et MPI sur réseau de stations de travail. Une évaluation des méthodes et langages est en cours.
Frédéric Cérou et Elizabeth Remy ont effectué un séjour d'une semaine à l'IFP Pau.