Participants : Fabien Campillo, Etienne Pardoux, Abdoulaye Traoré
Mots clefs : processus stochastique, équation aux dérivées partielles, équation différentielle stochastique, algorithme numérique, approximation, automatique non linéaire, stabilisation de système bilinéaire
Une idée naturelle pour ``stabiliser'' une EDS linéaire est d'introduire un contrôle linéaire :
où les matrices 
,
sont données et la
matrice 
est à
déterminer de telle sorte que l'exposant de Lyapounov 
associé (dépendant maintenant de
) soit négatif.
Il s'agit alors d'identifier le ``meilleur'' 
dans une classe donnée
de matrices, i.e. la
matrice 
qui stabilise
au mieux le système. Cette matrice est celle correspondant à un
minimum de la fonction 
. Nous allons pour cela utiliser une procédure de
gradient. Mais la fonction 
n'est pas pas ``calculables
'', on ne peut donc pas utiliser
une procédure de gradient classique mais une méthode de gradient
stochastique.
L'exposant de Lyapounov 
s'écrit également sous la forme
où q est une fonction donnée et 
est la mesure invariante du processus
X.
Le gradient de 
s'écrit :
où 
est le gradient
du processus X par rapport à 
et 
est la mesure invariante du couple 
.
Ainsi, l'algorithme de gradient stochastique sera de la forme
où 
est un pas de
discrétisation donné et 
est une réalisation du processus 
avec 
sur l'intervalle de temps 
. Le gain 
possède les propriétés classiques.
En pratique, nous utiliserons l'approximation :
Les propriétés de convergence sont liées aux propriét'es d'une
équation différentielle ordinaire. Modulo une certaine échelle
temporelle définie par la suite des gains 
, les trajectoires de 
convergent vers les trajectoires de
l'équation différentielle moyenne :
