Participant : Etienne Pardoux
Mots clefs : processus stochastique, équation aux dérivées partielles, équation aux dérivées partielles stochastiques, équation différentielle stochastique, mathématiques financières
Les EDSR ont été inventées par E. Pardoux et Peng Shi-Ge au début des années 90. Depuis la parution du premier article sur le sujet en 90, ce thème a connu une véritable explosion, et les articles parus ou à paraître sur ce sujet se comptent par dizaines. D'une part, on étudie des EDSR de plus en plus compliquées, dirigées éventuellement par des martingales assez générales, dont la solution peut être réfléchie, ou bien qui peut contenir un opérateur maximal monotone comme coefficient (cf. travail en collaboration avec El Karoui, Kapoudjian, Peng et Quenez, la thèse d'A. Gegout, et un travail plus récent en collaboration avec A. Rascanu). D'autres auteurs ont introduit des ``EDS progressives-rétrogrades''.
L'intérêt pour les EDSR vient de leur lien avec la théorie du contrôle, les mathématiques financières, et les équations aux dérivés partielles semi-linéaires ou quasi-linéaires. Une EDSR est une généralisation du modèle classique de Black et Scholes de fixation (fixing) du prix d'une option. Cette notion permet donc de poser et résoudre le même problème dans des cas plus compliqués que ceux qui avaient été étudiés jusqu'ici. Signalons en particulier que Darrell Duffie (Stanford Business School) avait introduit une classe particulière d'EDSR, indépendamment du premier travail de Pardoux-Peng.
Notre intérêt principal pour les EDSR est maintenant lié à l'outil qu'elles constituent pour démontrer des résultats sur les EDP non linéaires. Signalons dans cette direction un travail de Pardoux et Veretennikov (95), et surtout la thèse de F. Pradeilles, qui améliore les résultats de Freidlin, Barles, Souganidis,... sur la propagation de front dans les équations de réaction-diffusion.