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Portrait spectral de matrices

Participants : Sergei Godunov, Vincent Heuveline, Aneta Karaivanova, Sergei Kuznetsov, Pierre-François Lavallée, Alexandre Malyshev, Bernard Philippe, Miloud Sadkane

La connaissance du spectre d'une matrice ou d'un opérateur ne suffit pas, en général, pour déterminer son comportement. On caractérise mieux la matrice en question en analysant son portrait spectral, c'est à dire la norme de sa résolvante. La construction du portrait spectral d'une matrice (c'est-à-dire la représentation de son pseudo-spectre) suppose un calcul coûteux ; il s'agit en effet de calculer la plus petite valeur singulière d'une matrice A(z) où z est un nombre complexe prenant un grand nombre de valeurs. Le projet européen Portrait (projet Copernicus) dans lequel notre équipe était engagée a produit plusieurs procédures pour réaliser ce calcul. Nous avons développé une version parallèle de la méthode de Davidson généralisée et de la méthode de Jacobi-Davidson, pour analyser et tracer le portrait spectral de matrices non normales de grande taille [29]. La mise en oeuvre parallèle a été effectuée sur la machine Paragon de l'Irisa et a permis de calculer le portrait spectral d'une matrice d'ordre 8000. Le cas des matrices pleines a été abordé à travers un algorithme amélioré de bidiagonalisation et un algorithme de Jacobi (voir le projet API ). Le projet Portrait, maintenant terminé, va se prolonger par le projet Stable, dont l'objet est d'appliquer les méthodes précédentes à des simulations numériques, principalement en mécanique des fluides [31].

Nous avons introduit une nouvelle méthode visant à réduire le coût dans le calcul du portrait spectral [20]. Elle consiste à bloc-diagonaliser la matrice A, dont on souhaite calculer le portrait spectral, en q blocs, sous la forme où , tout en imposant au conditionnement de la matrice S de ``rester petit''. On détermine alors le portrait spectral de A à partir de ceux des blocs .

Nous avons donné une définition du portrait spectral d'un faisceau régulier de matrices, dont la bloc-diagonalisation s'effectue par des techniques similaires au cas standard. A cause de la valeur propre infinie, la visualisation du portrait spectral se fait, dans ce cas, de manière naturelle sur la sphère unité de .

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