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Participants : Anne Aubry, Philippe Chartier
La recherche menée sur les méthodes de Runge-Kutta comporte trois volets : le premier volet concerne les équations différentielles algébriques et est presque achevé. Il a consité en la définition d'un nouveau schéma, basé sur la méthode Radau IIA, dont l'ordre de convergence est identique pour la composante différentielle et la composante algébrique (pour la méthode Radau IIA d'ordre 5, squelette du code Radau5 développé par E. Hairer et G. Wanner, les ordres de convergence sont respectivement 5 et 3 pour les composantes respectivement différentielle et algébrique). Ce nouveau schéma a été incorporé dans le code Radau5 et apporte une amélioration notable de la précision sans augmentation des temps de calcul [2]. En parallèle, une étude théorique de la convergence des méthodes de Runge-Kutta du type Radau IA a été entreprise [3]. Les résultats obtenus dans le cadre des méthodes Radau IA sont en cours d'extension au cas général et en particulier aux méthodes de Gauss (travail mené en collaboration avec E. Hairer).
Le second volet concerne la construction de méthodes SIRK
(Singly Implicit Runge-Kutta ). La propriété
fondamentale des méthodes SIRK est la suivante : la matrice
de coefficients A de ces méthodes possède une seule valeur
propre 
de multiplicité
s ( 
est nilpotente).
Ainsi, si J est la jacobienne 
du
système, la décomposition LU (lower-upper ) de la
matrice 
, dont le coût est
prédominant dans les formules de passage d'un pas au suivant,
peut être évitée et remplacée par la décomposition LU de la
matrice 
. Modulo quelques
transformations linéaires, le coût de ces méthodes est alors
ramené à un niveau comparable à celui des méthodes multi-pas. Les
méthodes SIRK ``classiques'' souffrent néanmoins d'un handicap
important qui les a jusqu'alors confinées à des applications
particulières. Il est lié à la localisation des approximations
intermédiaires. L'extension proposée permet de lever cette
contrainte tout en conservant la propriété fondamentale des
méthodes SIRK, et ce en ayant recours à la notion d'ordre
effectif [4].
Le troisième volet se rapporte à la construction de méthodes pseudo-symplectiques, qui conservent certaines propriétés jugées essentielles (quasi-conservation de l'hamiltonien, croissance linéaire de l'erreur globale comme fonction de la longueur de l'intervalle d'intégration), tout en étant explicites (les méthodes symplectiques stricto-sensu sont nécessairement implicites). De premières méthodes d'ordre 2 et 3 ont été construites et testées, et fournissent des résultats satisfaisants. Ce travail se poursuit actuellement.
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