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Calcul de singularités

Participants : Michel Crouzeix, Jocelyne Erhel, Philippe Féat

Ce travail s'intéresse au comportement de problèmes non linéaires de grande dimension au voisinage de situations singulières (bifurcations, points limites, etc). Sous des hypothèses raisonnables, la singularité se trouve en petite dimension. Nous considérons alors des méthodes de continuation combinées à l'utilisation de sous-espaces. Cette approche originale permet de réduire le coût de calcul par rapport à des méthodes de continuation usuelles. Dans ce contexte, nous étudions un problème de frontière libre pour lequel nous avons démontré la régularité de l'équation, le caractère de Fredholm de l'opérateur linéaire tangent ainsi que l'existence d'une branche régulière de solution. Grâce à notre méthode de continuation par sous-espace, nous avons détecté numériquement et dépassé un point de retournement. Nous avons aussi approché la courbe pour une valeur du paramètre correspondant à la perte de connexité de celle-ci. Pour cela, nous avons mis au point des méthodes numériques d'approximation de type collocation sur des polynômes trigonométriques et sur des splines. On a réussi à les justifier pour des petites valeurs du paramètre, notre objectif est maintenant de le faire en un point quelconque régulier de la branche. Notre approche implique la résolution d'une séquence de problèmes non linéaires, résolus pour l'instant par une méthode de Newton avec solveur direct du Jacobien. Nous pensons appliquer une méthode de type Newton-Krylov avec un préconditionnement adapté.