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Lambda calculs typés et sémantique

Participants : Denis Bechet, Philippe de Groote, François Lamarche, Sophie Malecki, Jean-Yves Marion, Christian Retoré

Dans cette section nous présentons les actions de recherche qui relèvent de la logique linéaire (et de ses ancêtres, la logique intuitionniste et la logique classique) quand elle est vue dans une optique qui déborde du cadre de la théorie des réseaux et de ses rapports avec la linguistique ; le point de vue sémantique est ici particulièrement important.

Sophie Malecki a résolu un problème ouvert depuis quelques années et a montré [16] qu'un lambda-terme ordinaire qui était typable dans le système polymorphe pouvait être typé dans le sous-système , qui est le niveau immédiatement supérieur dans au lambda calcul du second ordre ordinaire, le système F. La technique de la démonstration emploie des systèmes formels de ``pseudotypage'', à mi-chemin entre le typage fort de et le lambda calcul pur, ainsi que l'unification d'ordre supérieur. Ces méthodes ont donné lieu a des travaux plus généraux en cours sur la notion de typage [21].

Christian Retoré a montré qu'on pouvait donner une caractérisation purement sémantique de la correction d'un réseau de démonstration multiplicatif ordinaire [7]. On interprète le réseau dans la sémantique habituelle des espaces cohérents, en assignant aux formules atomiques un espace cohérent particulier, à quatre points : le réseau est correct ssi le sous-ensemble qui l'interprète est cohérent.

François Lamarche a présenté une description très précise du rapport entre les réseaux de démonstration de la logique linéaire intuitionniste (sans le connecteur ``plus'') et la sémantique de jeux à la Hyland-Ong [3]. On a une généralisation considérable de cette dernière, puisqu'elle n'est valide que pour le cas beaucoup plus restreint du lambda calcul simplement typé. Grosso modo, disons que la pouvoir d'expression accru fait que les joueurs ne jouent plus des formules atomiques d'un réseau, comme pour Hyland-Ong, mais des branches de celui-ci.

Dans son travail sur une logique linéaire à deux tenseurs (cf. 3.3 ), Philippe de Groote en développe la sémantique des phases et prouve un théorème de complétude.

Dans [11], Philippe de Groote présente un lambda calcul simplement doté, via l'isomorphisme de Curry-Howard, du pouvoir expressif de la logique classique. Ce calcul possède plusieurs propriétés désirables : confluence, réduction du sujet, normalisation forte. Différents systèmes du genre ont été proposés durant la dernière décennie ; l'originalité et l'intérêt de celui-ci provient de sa correspondance avec le système de traitement des erreurs de ML.

Dans [18], Jean-Yves Marion présente divers calculs des séquents pour le fragment additif de la logique linéaire, et en étudie la complexité de la décision ; ceci l'amène a proposer un calcul des séquents pour la logique linéaire ordinaire où le traitement des contextes mélange la discipline additive et la discipline multiplicative.

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