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Mots de poids minimum et décodage algébrique

D. Augot a introduit, dans sa thèse, une méthode de recherches de mots de poids minimal dans un code linéaire, utilisant des techniques de bases de Groebner et les possibilités du logiciel AXIOM. D. Augot a généralisé ces méthodes à presque tous les codes. Les éléments de base de ce prolongement sont publiés dans [7]. Un autre article est en préparation. Toutefois, le problème de la recherche de mots de poids minimal est un problème NP-complet, et l'algorithme de Buchberger pour résoudre des systèmes d'équations algébriques montre vite ses limites. Il y a là une voie de recherche commune au calcul formel et au codage.

Le décodage des codes correcteurs connaît un regain d'intêret parmi les codeurs (voir les recherches menées pour la cryptographie §3.3.2 ). Il existe des codes performants que l'on ne sait pas décoder, ainsi les codes résidus quadratiques -- qui sont des codes cycliques. D'autre part, une meilleure compréhension des méthodes de décodage et de la résolution des systèmes algébriques apparait dans la communauté. En effet, il est maintenant bien compris que décoder revient à calculer une base de Groebner d'un idéal, appelé idéal des localisateurs. Il est maintenant possible de décoder tout code cyclique, de petite longueur, jusqu'à la vraie distance minimale en calculant une base de Groebner. Daniel Augot a présenté à Linz (IMACS'96) ses travaux sur le sujet [27]. La complexité du décodage des codes cycliques, n'est pas, à l'instar des codes linéaires, prouvée NP-complète.