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asymptotique de fonctions arithmétiques
Dans le cadre de l'action << Calcul symbolique >>
du Centre Charles Hermite, Olivier Ramaré (IECN) nous avait
demandé de vérifier que tout entier 1290740 < n <
B s'écrit comme somme de 5 cubes, avec B aussi
grand que possible, par exemple 
. À
l'aide d'un lemme d'O. Ramaré, un tel résultat permet de
montrer que tout entier n vérifiant la propriété
est somme de 7 cubes, soit 
pour
. À l'aide d'un
programme écrit en C et parallélisé par F. Bertault pour le
Power Challenge Array, nous avons vérifié que tout entier
est somme de 5 cubes.
(Cf. http://www.loria.fr/~zimmerma/records/cubes.html)
Notre programme calculant une décomposition 
où a est le plus grand possible, nous avons
obtenu en plus des statistiques sur le comportement de
, qui ont fait
apparaître des oscillations encore inexpliquées.
Le résultat obtenu avec O. Ramaré a depuis été amélioré
par Bernard Landreau (Université Bordeaux I), qui a montré avec
Jean-Marc Deshouillers et François Hennecart que tout entier
est somme de 5 cubes,
ce qui permet d'aller jusqu'à 
pour les
sommes de 7 cubes. La preuve de B. Landreau est basée sur
l'analyse des sommes de 4 cubes dans les classes modulo 63
jusqu'à 
environ, puis sur un
lemme permettant de passer des sommes de 4 cubes aux sommes de 5
cubes.
Ce sujet est loin d'être clos, puisque le meilleur résultat
effectif connu est celui de McCurley qui a prouvé en 1984 que
tout entier supérieur à 
est somme
de 7 cubes. Il reste donc un immense espace entre et , qui vaut environ
!
Un autre problème ouvert est celui de la densité des sommes de
3 cubes. B. Landreau a montré que si l'on suppose que les
sommes de 3 cubes suivent le modèle probabiliste d'Erdös et
Rényi, alors leur densité est positive et vaut 
. Cela semble concorder avec les résultats
expérimentaux qui donnent une densité de 0.099902 jusqu'à
.
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