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L'étude des zéros réels des systèmes polynomiaux constitue un
lien direct entre le calcul formel et les applications. Dans le
cadre du projet Européen Frisco LTR 21.042, notre but est de
fournir des outils performants en vue d'une utilisation
industrielle. Ce travail comporte plusieurs aspects :
- Un aspect théorique en géométrie réelle pour l'élaboration
d'algorithmes effectifs : méthodes de comptage avec ou sans
contraintes, simplification des systèmes, isolation des
racines, traitement des hypersurfaces.
- Un aspect algorithmique pour l'optimisation pratique des
méthodes effectives : diminution du nombre d'opérations
arithmétiques, contrôle de la taille des données en cours de
calcul.
- Un aspect informatique pour l'implantation efficace de ces
méthodes sur un grand nombre de plateformes.
Nous avons mis un accent particulier sur l'étude des zéros
réels des systèmes admettant un nombre fini de solutions
complexes. L'outil de base est la Représentation Univariée
Rationnelle (RUR) permettant de ramener tout problème à l'étude
d'un unique polynôme en une variable. Notre bibliothèque C++
(RealSolving) a atteint un niveau de performance élevé et
l'accent est mis maintenant sur le calcul de la RUR ainsi que sur
le traitement de la sortie de cet algorithme, pour augmenter la
classe des exemples que l'on peut traiter. Plusieurs stratégies
sont à l'étude :
- Parallélisation des calculs, pour une implantation sur les
machines du centre Charles Hermite,
- Utilisation d'arithmétiques hybrides (calculs simultanés
modulaires et flottants multi-précision) pour éviter la
croissance des coefficients,
- Stratégies de type multi-modulaire dans le cas des systèmes
à coefficients entiers ou polynomiaux.
Quelques applications pratiques ont vu le jour, notamment en
compression d'image par le calcul de nouveaux filtres
(collaboration avec le CNET) ou en robotique (étude de robots
parallèles - collaboration avec le projet PRISME).