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Complexité de comptage en satisfaisabilité généralisée

Les preuves de borne inférieure pour les différents problèmes fonctionnels, c'est-à-dire les problèmes dont la réponse est une chaîne de caractères ou un entier naturel au lieu d'une valeur booléenne sont en général des preuves par réduction << parcimonieuse >> à partir d'un problème de satisfaisabilité généralisée. Dans les problèmes de satisfaisabilité généralisée, on considère les formules propositionnelles en forme normale conjonctive, dont les clauses peuvent être formées par une relation logique quelconque. La classe de complexité #P contient les fonctions qui calculent le nombre de solutions des problèmes dans la classe NP. N. Hermann et N. Creignou ont démontré un théorème dichotomique pour la classe #P [5]. En effet, d'après ce théorème, la connaissance du nombre de valuations satisfaisables d'une formule propositionnelle généralisée peut être déterminée en temps polynomial déterministe uniquement si toutes les relations logiques utilisées sont affines, plus précisément si elles font partie d'un anneau booléen. Dans ce cas, on peut utiliser la transformation de Gauss d'un système d'équations pour déterminer le nombre de solutions. Dans tous les autres cas, le problème de comptage est #P-complet. Un corollaire direct de ce résultat s'énonce ainsi << Si un problème de décision en satisfaisabilité est NP-complet alors le problème correspondant de comptage est #P-complet >>. Le résultat principal de ce travail a déjà été utilisé, entre autres, pour prouver les bornes inférieures de problèmes de comptage en filtrage équationnel dans l'article [6].