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Participants : Khalid Daoudi, Jacques Lévy Véhel
Mots-clés : multifractales, ondelettes
Nous nous sommes intéressés au problème inverse associé aux
fonction FAA. Autrement dit, soit f une fonction continue
à support dans [0 ;1], on cherche à obtenir une fonction
g, un entier d, des similitudes contractantes
et d suites
tels que :
où 
.
Figure 2: Signal original de vitesse de
turbulence et son approximation par FAA.
Nous avons développé une approche fondée sur la décomposition
en ondelettes qui permet de résoudre de manière relativement
efficace ce problème. Cette approche a été appliquée sur des
signaux de turbulence enregistrés par Gagne et Hopfinger dans la
soufflerie S1 de l'ONERA à Modane. Ces signaux correspondent à un
enregistrement ponctuel de la composante longitudinale du champ
de vitesse par une sonde à fil chaud. La figure 2 représente un signal enregistré
de cette façon. La fonction FAA qui approxime ce signal est
montrée en pointillés. Le nombre des 
qui permettent de définir le signal approximé est en 
, si N est le nombre d'échantillons du
signal, ce qui semble indiquer que la modélisation par FAA a une
certaine pertinence. La suite des
ainsi obtenue permet de calculer le spectre de Hausdorff du
signal approximé (figure 3, en trait continu). L'exposant
de Hö lder presque sûr est voisin de h = 1/3 qui est la
valeur prédite par la théorie K41 de Kolmogorov. Le spectre est
approximativement le même que celui obtenu par Arnéodo et al. en
utilisant le formalisme multifractal fondé sur la transformée en
ondelettes (figure 3, en
pointillés). Nos résultats confirment donc ceux d'Arnéodo et al.
en ce qui concerne les propriétés multifractales de ces signaux
de turbulence.
Figure 3: Spectre multifractal de la fonction
FFS (en trait continu) et celui obtenu par le formalisme
multifractal sur le signal original (en pointillés).
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