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Le spectre des Grandes déviations et le semi-anneau Max-Plus

Participants : Julie Bestel, Jacques Lévy Véhel

Mots-clés : algèbre max-plus, multifractales  

Dans la continuité des travaux effectués en 1995 sur l'estimation du spectre des grandes déviations , nous avons prouvé, en collaboration avec Marianne Akian (Projet META2), que ce spectre peut être considéré comme une densité dans l'algèbre (max, +).
C'est pourquoi nous nous sommes intéressés à la définition de dans cette algèbre:
avec , où désigne la densité empirique des exposants de grain, et .
est l'équivalent dans (max, +) d'un noyau régularisant à support compact. En choisissant le correspondant de la gaussienne tronquée ( si , sinon) on retrouve la régularisation de Moreau-Yosida  [16]. Cette dernière consiste formellement en une inf-convolution entre une fonction f, et le noyau convexe .
Dans certains cas simples (mélange ou somme de mesures binomiales), nous avons montré que l'on peut trouver , tel que tend vers 0 quand n tend vers . Il est parfois possible d'exhiber la suite optimale dans un certain sens.
Dans le cas où l'on traite des mesures bruitées, on estime la densité par la méthode du noyau de convolution. Pour étendre l'estimation aux spectres de signaux, on définit un exposant de grain pour les fonctions à partir du comportement en loi de puissance dans les échelles des coefficients de la transformée en ondelettes.

Ces méthodes ont été appliquées à des données de trafic et des signaux biomédicaux (voir 3.3.3 ). Les développements futurs vont consister à essayer d'obtenir des vitesses de convergence pour les estimateurs, ainsi que des formules explicites pour dans des cas plus généraux.