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Formalisme multifractal pour les mesures inverses

Participants : Benoît Mandelbrot, Rudolf Riedi  

Mots-clés : analyse multifractale

Les mesures inverses ont été introduites il y a quelques années par B. Mandelbrot, qui a aussi conjecturé une formule qui relie les spectres multifractals d'une mesure et de son inverse.

Dans [10, 11] nous avons démontré que la formule proposée est correcte en toute généralité pour le spectre multifractal de Hausdorff . Nous avons aussi obtenu une formule pour le spectre d'une classe de mesures auto-similaires plus large que celles considerées jusqu'à présent.

Pour le spectre de grande déviation , la formule ne se démontre que dans le cas des mesures continues : l'étude des mesures inverses peut alors être vue comme un cas spécial d'une analyse multifractale conditionnelle (voir 3.1.3 ). La formule n'est pas valable pour les mesures discontinues, comme le démontre l'exemple des mesures auto-similaires généralisées : le spectre n'est pas concave alors que est égal à la régularisée concave de . On a trouvé ainsi une limite à la validité du formalisme multifractal.