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Filtrage de Kalman

  Une des approches possibles pour le problème de l'assimilation de données dans les modèles numériques, et plus particulièrement en météorologie ou en océanographie, consiste à utiliser des méthodes de type filtrage. Dans cette approche stochastique, l'état initial cherché est supposé aléatoire et par suite la dynamique du système est elle-même un processus stochastique. Les données apparaissent comme les valeurs d'un processus lié au processus d'état contaminées par un bruit d'observation. Il s'agit alors de déterminer une bonne approximation de l'espérance conditionnelle de l'état du système au vu des données. Le caractère non linéaire des équations de dynamique dans les applications qui nous intéressent conduit à l'utilisation d'un filtre sous-optimal dit de Kalman-Bucy étendu (KBE) dans lequel on linéarise les équations au voisinage de l'estimation courante de l'état. Cependant, vu la dimension de l'état du système qui est souvent très grande, le filtre KBE usuel conduit a priori à des calculs prohibitifs. De plus, la grande taille de la matrice de covariance des erreurs de dynamique du modèle pose le problème de sa spécification d'une manière adéquate.

L'objet du travail amorcé dans le cadre de ce projet consiste à mener une étude approfondie des possibilités de l'approche par filtrage et à terme d'appliquer la méthode sur des données réelles. A cette fin, nous avons proposé un filtre de type Kalman étendu basé sur l'utilisation d'une matrice de covariance des erreurs singulière et de rang faible. Ce filtre opère selon le principe de ne pas faire de corrections dans les directions d'atténuation naturelle des erreurs. Les corrections sont effectuées uniquement dans des directions appartenant à un sous-espace vectoriel. Celui-ci est construit au départ par la méthode de fonctions orthogonales empiriques (EOF), mais évolue par la suite selon le modèle. Le filtre est baptisé SEEK (Singular Evolutive Extended Kalman) [47] et a été expérimenté avec succès par Gourdeau, Verron et Pham pour l'assimilation des données altimétriques dans un cadre réaliste d'un modèle aux équations primitives pour l'océan Pacifique tropical [41], [40]. De plus, une version améliorée et baptisée filtre SEIK (Singular Evolutive Interpolated Kalman) a également été proposée [38], [48]. Une étude de faisabilité basée sur un modèle quasi-géostrophique de taille réduite a montré sa bonne performance.

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