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Semi-conducteurs

Participants : Patrick Le Tallec, Benoit Perthame, Americo Marrocco, Philippe Montarnal, Frédéric Hecht (projet Gamma)

Mots-clés : algorithme numérique, élément fini, logiciel numérique, maillage adaptatif, modélisation, semiconducteur

La simulation numérique de dispositifs à semi-conducteurs continue à faire l'objet d'études intensives dans le monde et en France. On espère, par ce biais, pouvoir prévoir le comportement a priori de dispositifs avant leur réalisation effective ou, en partant d'un état de l'art technologique donné, optimiser leurs paramètres technologiques. Le secteur cible est ici l'électronique rapide et les télécommunications. Le partenaire privilégié est le CNET, auquel se rajoute Thomson (intégration de modèles quantiques). Les recherches sur la simulation numérique des dispositifs semi-conducteurs se sont poursuivies cette année selon deux axes principaux.

Le premier axe concerne la simulation des dispositifs III-V gouvernés par le modèle de dérive-diffusion (DD). Le dipositif typique qui nous intéresse est un T.B.H. (transistor bipolaire à hétérojonction(s)). Les simulations numériques effectuées ces dernières années ont montré que dans le cas de structures hétérogènes, le maillage utilisé pour la discrétisation devait être suffisamment raffiné au voisinage de l'hétérojonction de façon à obtenir une convergence sur les valeurs des courants d'électrons et de trous, en particulier du courant d'électrons dans la base de notre T.B.H. (courant de porteurs minoritaires). Afin de surmonter ce genre de problèmes, nous avons développé deux stratégies:

1. En premier lieu, étant donné que les fortes singularités du quasi-niveau de Fermi ont lieu essentiellement dans la direction perpendiculaire à l'interface, une approximation localement 1D des équations semble licite. Nous avons donc développé un couplage numérique des éléments finis mixtes 2D actuellement utilisés à des élements finis locaux 1D de même nature de façon à garder un maximum de cohérence dans la formulation.

   Nous avons testé cette approche 2D-1D au niveau des contacts ohmiques; nous avons retrouvé les mêmes résultats -et en particulier sur les courants de minoritaires, plus problématiques- qu'avec la modélisation analytique de la couche limite, à condition de prendre des pas de maillage 1D suffisamment fins à l'interface (contact), -des pas de l'ordre de Angströms pour certaines configurations-. Au niveau de l'hétérojonction, cet artifice semble aussi améliorer la précision de la solution pour un maillage 2D donné. Cependant une validation plus poussée reste à faire.

2. En second lieu, en collaboration avec le projet Gamma et dans le cadre d'un contrat FRANCE-TELECOM (notifié en mars 96), une étude est en cours sur l'adaptation de maillage.

Dans l'optique de pouvoir traiter numériquement des problèmes où les maillages peuvent devenir ``très gros'' (cela peut arriver dans des phases de validation), nous avons aussi mis en oeuvre des méthodes de résolution de type itératif pour les systèmes linéaires issus de l'algorithme de Newton-Raphson: gradient conjugué (GC) et generalised minimal residual (GMRES), avec différentes possibilités de préconditionnement.

Pour les systèmes issus de l'équation de Poisson (systèmes symétriques définis positifs), nous n'avons renconté aucune difficulté et obtenu un gain en performances assez appréciable; nous donnons ci-dessous les résultats obtenus pour la résolution complète du problème d'équilibre (nécessitant la résolution d'une quinzaine de systèmes linéaires), en faisant apparaitre la taille du problème traité (nombre de degrés de liberté (NDL)), la taille (en mots) de la matrice stockée sous forme profil pour la méthode directe (Choleski) (MEM-D), et celle de la matrice de préconditionnement stokée sous forme morse (MEM-I) pour la méthode de gradient conjugué, ainsi que les temps CPU respectifs sur station de travail de type HP-735-100, les calculs étant réalisés en double précision.

On peut remarquer que la technique itérative est très intéressante, surtout lorsque le nombre de degrés de liberté augmente. Malheureusement pour le problème statique le choix d'un ``bon'' préconditionneur pour GMRES dans le cas des matrices non symétriques semble plus délicat.

Le second axe étudie des modèles plus riches que le modèle de dérive-diffusion actuellement utilisé. Ces modèles deviennent nécessaires du fait de la miniaturisation des dispositifs simulés. En particulier, pour prendre en compte les phénomènes thermiques, il convient d'ajouter une équation de conservation de l'énergie.

 
Figure 7:   Distribution de la température électronique dans un JFET à grille 0.2 . Simulation avec modèle énergie-transport.

Nous avons tout d'abord continué le travail théorique sur l'analyse asymptotique de l'équation de dérive-diffusion dans le cas dopage fort, champ fort (énergie thermique énergie électrique) [62]. Nous avons aussi effectué différents tests numériques qui ont montré le meilleur comportement des schémas en variables quasi-niveaux de Fermi ( ) par rapport aux schémas en variables concentrations des porteurs (n,p) [53].

Une étude bibliographique nous a ensuite permis de dégager deux modèles fluides incorporant une équation d'énergie : le modèle hydrodynamique et le modèle de transport d'énergie. Ces deux modèles dérivent de l'équation de transport de Boltzmann.

Pour les approfondir, nous avons étudié le cas d'un dispositif bipolaire à hétérojonctions (conformément aux préocupations du CNET). Nous avons sélectionné pour les électrons deux types de modèles (hydrodynamique simplifié et transport d'énergie). Par contre, pour les trous nous avons conservé un modèle de dérive-diffusion. Le premier travail a consisté à symétriser les équations afin d'obtenir un système elliptique symétrique défini positif. Pour la résolution numérique nous avons ensuite généralisé les méthodes déjà employées pour la simulation du modèle de dérive-diffusion (approche éléments finis mixtes, transitoire artificiel, relaxation des équations, méthode de Newton). Nous avons fait le choix de traiter simultanément les équations de conservation de la masse et de l'énergie des électrons. Cela nous a amenés à développer une généralisation de la méthode des éléments finis mixtes pour un problème vectoriel non-linéaire [16, 38, 39].

La validation du code a été effectuée sur différents dispositifs : diodes balistiques à homojonctions et hétérojonctions, diode P-N, transistor JFET. Ces premiers résultats sont conformes aux attentes des physiciens.
Les premières perspectives résident dans l'amélioration du modèle physique et la poursuite des tests de validations. Il serait aussi intéressant d'affiner la connaissance du passage modèle cinétique / modèle fluide et des propriétés mathématiques du modèle fluide.

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