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Cinétique

 

Les modèles cinétiques permettent une description physique fine des milieux particulaires par une analyse de l'évolution des populations de particules à position et vitesse données. Leur utilisation est nécessaire entre autres pour la simulation de gaz raréfiés tels qu'on les trouve à haute altitude autour des corps de réentrée ou à l'intérieur des réacteurs à diffusion de vapeur. Leur simulation numérique est cependant délicate et exige de gros moyens de calcul. Elle doit donc être couplée à des approches plus classiques de mécanique des fluides.

Trois tâches se dégagent dans ce contexte. La première tâche proposée est d'abord d'améliorer, de valider et d'interpréter les simulations numériques des écoulements cinétiques. La seconde tâche est de développer des modèles asymptotiques consistants qui permettent de passer d'une modélisation cinétique fine à un modèle hydrodynamique. La dernière tâche consiste à utiliser les deux niveaux de modèle de manière adaptative et couplée.

1. Simulation Numérique des Equations de Boltzmann

La stratégie numérique de base est une combinaison de méthodes particulaires et de techniques de Monte Carlo.
Validation du code BOL2D par comparaison à l'expérience.

Des résultats expérimentaux obtenus en soufflerie raréfiée sur une plaque biseautée par le Laboratoire d'Aérothermique du CNRS nous ont permis de valider notre code BOL2D (Boltzmann bidimensionnel) pour un gaz diatomique de viscosité VHS dans le cas d'un écoulement froid (énergie interne de vibration négligeable). Les densités coincident bien, surtout près de la paroi et en début de plaque. Vers l'arrière, le choc calculé est légèrement plus haut et plus fermé.
Extension du code BOL2D aux parois concaves. Réflexions multiples.

 
Figure 6:   Recirculation dans un dièdre à Mach 20.

Les zones concaves d'une paroi rendent le calcul des réflexions délicat car dans un même pas de temps une molécule peut impacter plusieurs fois la paroi.

Dans le cas d'un écoulement externe, ce calcul précis permet de mettre en évidence des zones de recirculation (Figure 6 ). Pour un écoulement interne, le calcul des réflexions multiples est indispensable car une réflexion manquée entraine une perte de particule, ce qui fausse rapidement les résultats.

Cette prise en compte des réflexions multiples alourdit le logiciel mais pas le temps calcul car leur proportion est assez faible.
Boltzmann instationnaire.

Afin de mieux suivre la convergence de l'algorithme vers la solution stationnaire et de capter d'éventuelles solutions instationnaires, nous avons calculé la solution à différents instants à partir de moyennes sur des intervalles de temps réduits.

Cette technique est utile dans les écoulements où les quantités intéressantes sont diffusées et non convectées, car la convergence est très lente et nécessite des dizaines de milliers de pas de temps.

La robustesse de la Méthode de Monte Carlo et la petitesse des pas de temps (inhérente à cette méthode explicite) permettent ainsi de bien suivre des phénomènes physiques transitoires de grande amplitude.
Etude de la couche limite en régime semi-raréfié.

La modélisation des couches limites cinétiques est particulièrement importante en pratique car elle permet de prédire le comportement aérodynamique des engins volant à haute altitude en atmosphère raréfiée ou semi-raréfiée. L'information recherchée dans ces couches limites est de savoir relier les sauts de vitesse et de température à la paroi aux valeurs des forces de frottement et de flux de chaleur.

On a étudié dans ce cadre l'écoulement d'un gaz semi-raréfié compris entre deux plaques parallèles dont l'une est animée d'une grande vitesse. Ce type d'écoulement, dit de Couette, présente des sauts de vitesse tangentielle et de température aux parois lorsque celles-ci sont maintenues à température constante.

Ces sauts calculés dans le cas monoatomique ou diatomique redonnent à 10% près les sauts donnés par les formules de Grad linéaires et non linéaires, et ceci pour des Knudsen allant jusqu'à . Au-dessous, pour une vitesse de 1000 m/s, les sauts deviennent négligeables.

2. Modélisation asymptotique en régime transitionnel (voir 4.5 )

Les régimes visés par cette étude sont des écoulements hypersoniques à nombre de Mach élevé (20), à faible nombre de Reynolds (Re/m < 100000) et à basse température. L'idée de base consiste à utiliser l'approximation exponentielle proposée par D. LEVERMORE pour approcher de manière positive et cohérente la densité cinétique des particules à vitesse et position données à l'intérieur de la couche limite. Nous y avons introduit cette année des conditions aux limites faibles qui permettent de décrire de manière consistante, au niveau macroscopique, les conditions aux limites cinétiques imposées aux particules au niveau microscopique.
Les propriétés du système aux moments et l'écriture au sens faible des conditions aux limites nous ont ensuite amenés à proposer un solveur cinétique pour exploiter numériquement le modèle. Les différentes étapes de ce schéma ont été implémentées. Nous proposons notamment un algorithme pour le calcul du modèle par la résolution d'un problème de minimisation, et une règle d'intégration numérique pour le calcul des flux. Nous avons testé le modèle sur différentes applications numériques (problème de choc, écoulements de Couette). Ces résultats sont les premiers résultats numériques obtenus pour le modèle aux 14 moments.
Il est apparu alors que ce modèle convient parfaitement. Il peut simuler un écoulement de fluide proche de ceux modélisés par les équations de Navier-Stokes, tout en conservant les particularités cinétiques de l'écoulement (conditions de sauts à la paroi). L'optique éventuelle d'un couplage avec les équations de Navier-Stokes semble tout à fait réalisable à court terme.

3. Couplage adaptatif des équations de Boltzmann et de Navier-Stokes

Pour réaliser des calculs d'écoulements externes hypersoniques en régime semi-dense tels qu'on les rencontre dans les écoulements autour d'engins spatiaux en haute atmosphère, nous avions proposé une technique de couplage des équations de Boltzmann et de Navier-Stokes par demi-flux, fondée sur une interprétation cinétique des flux [57]. Ces travaux ont été étendus à des gaz diatomiques monotempératures. L'ensemble des techniques de couplage associées (écriture des modèles asymptotiques, détermination automatique des domaines, écriture des conditions d'interface, algorithme de couplage) a été décrit dans la thèse de F. Mallinger soutenue en septembre 1996.

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