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Optimisation de formes en Aérodynamique
On s'intéresse à la résolution numérique des équations de Maxwell 3D, pour la simulation de phénomènes de diffraction d'ondes électromagnétiques par des obstacles que l'on suppose dans un premier temps parfaitement conducteurs. Bien que l'on se place en régime harmonique, on considère une formulation temporelle des équations de Maxwell. Dans des études précédentes, on a montré, pour les cas 2D et 3D acoustiques, l'efficacité d'une formulation ``Contrôlabilité Exacte'' pour accélérer la convergence de la solution instationnaire vers le régime harmonique.
Cette méthodologie a été étendue aux cas vectoriels 2D et 3D.
La formulation moindres carrés introduite conduit à la résolution
du problème par un algorithme de gradient conjugué
préconditionné. L'opérateur Laplacien qui, dans les cas
scalaires, intervenait dans les équations d'état et adjointe,
dans la fonction coût et dans le préconditionneur, est maintenant
remplacé par l'opérateur `` 
'' ; ceci
permet entre autres de prendre en compte la contrainte sur la
divergence.
On utilise une approximation par éléments finis 
; le schéma en temps est explicite.
La condition aux limites sur l'obstacle est traitée par projection et sur la frontière artificielle on impose une condition absorbante de Silver-Muller. En ce qui concerne l'initialisation de l'algorithme, une solution initiale régulière satisfaisant les conditions aux limites est obtenue en passant de manière continue en temps de conditions aux limites nulles à celles associées aux données harmoniques. Ceci améliore la convergence vers la solution harmonique.
Pour inverser le problème algébrique intervenant dans le préconditionneur, on utilise de nouveau un gradient conjugué lui-même préconditionné par une technique de type correction de Krylov comme proposé par Y. Saad pour les problèmes à plusieurs seconds membres. Ce sujet est traité en collaboration avec J. Erhel-Chaux (Projet Aladin). L'intérêt de cette méthode est que le coût en mémoire peut être fixé par l'utilisateur et que le coût en opérations supplémentaires par itération est négligeable.
Un code 2D vectoriel a permis de tester la méthodologie qui a ensuite été généralisée pour les équations de Maxwell 3D. Des tests sur des cylindres ou sphères pour lesquels une solution analytique est connue ont permis de valider les résultats. Des calculs sur des géométries non convexes ont ensuite été effectués.
Le code 2D scalaire a aussi servi d'outil de base pour l'optimisation, en vue de la réduction de la SER, de la position d'antennes par algorithme génétique ; ceci a été développé par M. Séfrioui (Laforia-CNRS) et B. Mantel (Dassault Aviation).
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